Problemi di Massimo e MInimo ( facili)

[orny___91]

Ciao mi date una mano con questi problemi di max e minimo, spiegandomi che procedimento seguire... io in realtà ci ho provato ma non sono sicura di averli svolti bene. Grazie


- la somma di 2 numeri è 24. determinare i due numeri sapendo che la somma dei loro quadrati deve essere la più piccola possibile.

- Il perimetro di una finestra avente la forma di un rettangolo sormontato da un triangolo equilatero è di 40m. Determinare le dimensioni del rettangolo affinchè dalla finestra entri la massima quantità di luce.

Aggiunto 1 ore 59 minuti più tardi:

Ok, grazie mille per la spiagazione ma un'ultima cosa. Dunque quando mi ritrovo davanti a problemi di questo tipo mi basta fare la derivata prima dell'eq.che scrivo e porla uguale a zero??
Non occorre porla maggiore di zero se voglio trovare il max o, minore di zero se voglio trovarmi il minimo??

grazie

[ciampax]

- I due numeri sono

[math]x,\ x-24[/math]

: pertanto vuoi che la funzione

[math]Q(x)=x^2+(24-x)^2[/math]

abbia un minimo. Essendo

[math]Q'(x)=2x-2(24-x)=4x-48=0\ \Leftrightarrow\ x=12[/math]

tale somma è minima per

[math]x=12,\ 24-x=12[/math]

- Se indichiamo con

[math]x, y[/math]

la base e l'altezza, allora

[math]40=2(x+y)[/math]

per cui

[math]y=20-x[/math]

. Vogliamo allora massimizzare la superficie della finestra

[math]A(x)=xy=x(20-x)[/math]

ed avendosi

[math]A'(x)=20-x-x=20-2x=0\ \Leftrightarrow\ x=10[/math]

, tale massimo si ha quando

[math]x=10,\ y=10[/math]

.

Aggiunto 2 ore 44 minuti più tardi:

In generale, se la soluzione è solo una, come in questi casi, banalmente quella sarà l'unica risposta possibile. Altrimenti studia la disequazione

[math]f'(x)\geq 0[/math]

e fai i soliti ragionamenti sulla monotonia. Nel primo caso, ad esempio, avresti avuto

[math]4x-48\geq 0\ \Rightarrow\ x\geq 12[/math]

per cui la funzione cresce per x>12, decresce per x