Problemi di massimo e minimo
Salve,
potreste segnalarmi qualche link su problemi risolti di massimo e minimo?
In particolare vorrei un suggerimento sul seguente problema: "tra tutti i triangoli circoscritti ad una data circonferenza trovare quello di area minima". Ho provato a porre una volta un segmento ed una volta un angolo come incognita ma non riesco a procedere. Mi potreste dire quale teorema applicare: è conveniente procedere con la similitudine dei triangoli che si vengono a formare?
Grazie
potreste segnalarmi qualche link su problemi risolti di massimo e minimo?
In particolare vorrei un suggerimento sul seguente problema: "tra tutti i triangoli circoscritti ad una data circonferenza trovare quello di area minima". Ho provato a porre una volta un segmento ed una volta un angolo come incognita ma non riesco a procedere. Mi potreste dire quale teorema applicare: è conveniente procedere con la similitudine dei triangoli che si vengono a formare?
Grazie
Risposte
per quanto riguarda il link, posso solo consigliarti di guardare i vari problemi e quesiti dell'esame di maturità scientifica degli ultimi anni, che contengono molti problemi di massimo e minimo (li trovi tutti risolti su questo sito)
per il tuo problema specifico, posso darti qualche suggerimento (ma comunque il problema non mi sembra di facile soluzione):
l'area di un qualunque poligono circoscrivibile, e quindi a maggior ragione di un qualunque triangolo, è data da :$2p*a/2$ , dove $a$ è l'apotema del triangolo, cioè il raggio della circonferenza inscritta, che nel tuo caso è noto
il centro della circonferenza inscritta è l'incentro, cioè il punto d'incontro delle bisettrici
i segmenti compresi tra i vertici ed i punti di tangenza sono a due a due congruenti, in quanto lati di triangoli congruenti
non mi sembra invece che si possa parlare di similitudine
per il tuo problema specifico, posso darti qualche suggerimento (ma comunque il problema non mi sembra di facile soluzione):
l'area di un qualunque poligono circoscrivibile, e quindi a maggior ragione di un qualunque triangolo, è data da :$2p*a/2$ , dove $a$ è l'apotema del triangolo, cioè il raggio della circonferenza inscritta, che nel tuo caso è noto
il centro della circonferenza inscritta è l'incentro, cioè il punto d'incontro delle bisettrici
i segmenti compresi tra i vertici ed i punti di tangenza sono a due a due congruenti, in quanto lati di triangoli congruenti
non mi sembra invece che si possa parlare di similitudine
Non so darti alcun link; in questo sito trovi però molti problemi di massimo e minimo.
Per la tua seconda domanda, noto che per individuare un triangolo occorrono tre dati e ne hai uno solo (il raggio del cerchio inscritto), quindi ti restano due variabili. Direi quindi che le possibili soluzioni sono solo due:
1) Usare la teoria delle funzioni in due variabili, che però si studia solo a livello universitario.
2) Cercare una risposta con metodi sintetici, ed è quello che farò.
Vale la formula $S=rp$ (S=area, r=raggio, p= semiperimetro) quindi l'area è minima quando lo è il perimetro; ragiono su quest'ultimo, che mi sembra più semplice. Traccio le bisettrici degli angoli e le distanze dell'incentro dai lati; ragionando sui triangoli rettangoli così ottenuti ed usando i soliti simboli si ottiene facilmente
$2p=2r(cotg \frac alpha 2+cotg \frac beta 2+cotg \frac gamma 2)$
con le variabili collegate da $alpha+beta+gamma=pi$. Considero ora costante $gamma$ e mi chiedo quale ulteriore relazione deve esserci fra $alpha$ e $beta$ per avere il minimo. Deve essere minima la somma dei primi due addendi, cioè
$A=(cos \frac alpha 2)/(sen \frac alpha 2)+(cos \frac beta 2)/(sen \frac beta 2)=(cos \frac alpha 2 sen \frac beta 2+sen \frac alpha 2 cos \frac beta 2)/(sen \frac alpha 2 sen \frac beta 2)$ $=(sen \frac {alpha+beta} 2)/(1/2(cos \frac{alpha-beta} 2-cos \frac {alpha+beta}2))=(cos \frac gamma 2)/(1/2(cos \frac{alpha-beta} 2-sen \frac gamma 2))$
Poiché $gamma$ è costante ed il numeratore è positivo, si avrà il minimo quando il denominatore è massimo, cioè quando
$cos \frac{alpha-beta} 2=1->alpha=beta$
Lo stesso ragionamento vale considerando costante un altro angolo, quindi il minimo si ha quando tutti gli angoli sono uguali: la risposta è il triangolo equilatero.
Per la tua seconda domanda, noto che per individuare un triangolo occorrono tre dati e ne hai uno solo (il raggio del cerchio inscritto), quindi ti restano due variabili. Direi quindi che le possibili soluzioni sono solo due:
1) Usare la teoria delle funzioni in due variabili, che però si studia solo a livello universitario.
2) Cercare una risposta con metodi sintetici, ed è quello che farò.
Vale la formula $S=rp$ (S=area, r=raggio, p= semiperimetro) quindi l'area è minima quando lo è il perimetro; ragiono su quest'ultimo, che mi sembra più semplice. Traccio le bisettrici degli angoli e le distanze dell'incentro dai lati; ragionando sui triangoli rettangoli così ottenuti ed usando i soliti simboli si ottiene facilmente
$2p=2r(cotg \frac alpha 2+cotg \frac beta 2+cotg \frac gamma 2)$
con le variabili collegate da $alpha+beta+gamma=pi$. Considero ora costante $gamma$ e mi chiedo quale ulteriore relazione deve esserci fra $alpha$ e $beta$ per avere il minimo. Deve essere minima la somma dei primi due addendi, cioè
$A=(cos \frac alpha 2)/(sen \frac alpha 2)+(cos \frac beta 2)/(sen \frac beta 2)=(cos \frac alpha 2 sen \frac beta 2+sen \frac alpha 2 cos \frac beta 2)/(sen \frac alpha 2 sen \frac beta 2)$ $=(sen \frac {alpha+beta} 2)/(1/2(cos \frac{alpha-beta} 2-cos \frac {alpha+beta}2))=(cos \frac gamma 2)/(1/2(cos \frac{alpha-beta} 2-sen \frac gamma 2))$
Poiché $gamma$ è costante ed il numeratore è positivo, si avrà il minimo quando il denominatore è massimo, cioè quando
$cos \frac{alpha-beta} 2=1->alpha=beta$
Lo stesso ragionamento vale considerando costante un altro angolo, quindi il minimo si ha quando tutti gli angoli sono uguali: la risposta è il triangolo equilatero.
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