Problemi di massimo e minimo
circoscrivere a un cerchio di raggio R il rombo di area minima.
Il rombo viene diviso in quattro parti triangoli, ma come faccio a dimostrare che le diagonali sono uguali?
Data una retta e due punti A e B situati da bande opposte di essa, descrivere la circonferenza passante per A e B, che intercetti sulla retta una corda di lunghezza minima.
intersecando AB con O chiamo OA=a e OB=b; ma come faccio a trovare una funzione che esprima la corda?
E' dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo, Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze.
(sol. il punto di divisione del diametro deve essere il centro del semicerchio)
Ma come fa a essere il centro il punto di divisione del semicerchio se in questo modo le due semicirconferenze non si incrociano?
Sto un po' stressato dopo aver fatto una ventina (e più) di problemi su massimo e minimo, e quindi perdonatemi se non posto qualcosa; sono abbastanza impegnativi e non ho ancora affrontato la geometria solida, che sarà ancora più complicata ...
Il rombo viene diviso in quattro parti triangoli, ma come faccio a dimostrare che le diagonali sono uguali?
Data una retta e due punti A e B situati da bande opposte di essa, descrivere la circonferenza passante per A e B, che intercetti sulla retta una corda di lunghezza minima.
intersecando AB con O chiamo OA=a e OB=b; ma come faccio a trovare una funzione che esprima la corda?
E' dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo, Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze.
(sol. il punto di divisione del diametro deve essere il centro del semicerchio)
Ma come fa a essere il centro il punto di divisione del semicerchio se in questo modo le due semicirconferenze non si incrociano?
Sto un po' stressato dopo aver fatto una ventina (e più) di problemi su massimo e minimo, e quindi perdonatemi se non posto qualcosa; sono abbastanza impegnativi e non ho ancora affrontato la geometria solida, che sarà ancora più complicata ...
Risposte
Per quanto riguarda il primo problema
Detto AB un lato del rombo e T il punto in cui tale lato tange la circonferenza di centro O, mi è sembrato conveniente indicare $x =bar(AT)$, con $x>0$, il triangolo AOB è rettangolo e il raggio OT è l'altezza relativa all'ipotenusa, per il secondo teorema di Euclide hai $bar(AT):bar(OT)=bar(OT):bar(BT)$ da cui ricavi $bar(BT)=R^2/x$, imposta l'area usando i 4 triangoli uguali di base AB e altezza OT.
per il terzo problema
I semicerchi non si devono intersecare, devono essere tangenti. Se chiami $x$ il raggio di uno dei semicerchi interni, $0<=x<=r$, l'altro avrà raggio $r-x$.
Per il secondo problema non capisco il testo, non so se dipende che sono un po' febbricitante o se hai fatto tu un po' di confusione, chi è O?
Detto AB un lato del rombo e T il punto in cui tale lato tange la circonferenza di centro O, mi è sembrato conveniente indicare $x =bar(AT)$, con $x>0$, il triangolo AOB è rettangolo e il raggio OT è l'altezza relativa all'ipotenusa, per il secondo teorema di Euclide hai $bar(AT):bar(OT)=bar(OT):bar(BT)$ da cui ricavi $bar(BT)=R^2/x$, imposta l'area usando i 4 triangoli uguali di base AB e altezza OT.
per il terzo problema
I semicerchi non si devono intersecare, devono essere tangenti. Se chiami $x$ il raggio di uno dei semicerchi interni, $0<=x<=r$, l'altro avrà raggio $r-x$.
Per il secondo problema non capisco il testo, non so se dipende che sono un po' febbricitante o se hai fatto tu un po' di confusione, chi è O?
per il secondo problema vai di geometria analitica! la circonferenza è un fascio di circonferenze che ottieni sostituendo di volta in volta alla circonferenza generica le coordinate dei punti A e B e mettendo a sistema. Trovi un'equazione parametrica. Chiamando k il parametro puoi esprimere, mettendo a sistema la circonferenza espressa come y = f(x,k) con la retta i due punti di intersezione (come coordinate) in funzione di k. Poi con la formula della distanza di punti ricavi una y = f(k) che esprime la lunghezza della corda. minimizza e hai fatto =)
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