Problemi di massimo e minimo (309881)

[studente20re]

determina il punto P sull'asse y in corrispondenza del quale è minima la somma dei quadrati delle distanze di P da A (-4,0) b (2,1)

Grazie per chi me lo spiegherà

[anna.supermath]

Ciao, ti scrivo la soluzione.
Considera il punto P= (0;y) con y che può essere sia positivo che negativo.
Esprimiamo le distanze (AP)^2 e (BP)^2 in funzione delle coordinate di P.
(AP)^2 = 16 + (y)^2
(BP)^2 = (0 -2)^2 + (1 -y)^2
ossia
(BP)^2 = 4 + 1 + (y)^2 - 2y
Il testo richiede che la somma dei quadrati delle distanze (AP)^2 e (BP)^2 sia minima, quindi dobbiamo trovare il punto di minimo della funzione
z = (AP)^2 e (BP)^2
ossia
z = 16 + (y)^2 + 4 + 1 + (y)^2 - 2y

z = 2(y)^2 - 2y + 21

Per trovare il punto di minimo di questa funzione hai due modi.
Il primo è fare la derivata (non so se le hai fatte) e studiarne il segno:
z’ = derivata di z
z’ = 4y - 2
z’ >= 0
4y - 2>=0
y >= 1/2
quindi per valori di y minori di 1/2 la z’ è negativa, quindi z decresce, per valori di y maggiori di 1/2 la z’ è positiva quindi z cresce, si conclude che in y = 1/2 si ha un punto di minimo per
z = 2(y)^2 - 2y + 21
che è la funzione che esprime
(AP)^2 e (BP)^2
quindi la somma dei quadrati delle distanze di P da A e B si ha se P ha coordinare
P = (0;1/2)

Il secondo metodo che puoi usare per trovare le coordinate di P soddisfacenti le condizioni poste dal problema è osservare che
z = 2(y)^2 - 2y + 21
è una parabola con concavità rivolta verso l’alto, il cui punto di minimo coincide con l’ascesa del vertice,
ossia -b/2a
ossia -(-2)/((2)(2))
ossia 1/2
quindi si trova P = (0;1/2)
Questo metodo lo puoi usare in questo caso particolare perché la funzione trovata è una parabola
NB
Il fatto che la funzione z sia espressa in funzione della y, non vuol dire (in questo caso) che sia una parabola ad asse orizzontale