Problemi di massimo e minimo
Devo risolvere il seguente problema: dimostrare che il triangolo rettangolo circoscritto ad una circonferenza di raggio dato, di area minima è quello isoscele. Il metodo non deve prevedere l'uso della derivata, ma va fatto per via elementare. Avete qualche idea? Grazie!
Risposte
Penso che aram volesse una soluzione che facesse uso solo dei teoremi che sono appunto detti di ricerca dei massimi e minimi per via elementare; mando la mia soluzione.
Nomenclatura: $ABC$ è il triangolo, rettangolo in $A$; i punti di tangenza con $AB,AC,BC$ sono $D,E,F$; il raggio è $r=AD=AE$; pongo $x=BD=BF, y=CE=CF$.
Per Pitagora
$(x+y)^2=(x+r)^2+(y+r)^2$
...
$xy=r(x+y)+r^2$
$xy-r(x+y)+r^2=2r^2 ->(x-r)(y-r)=2r^2$
Con la sostituzione $u=x-r, v=y-r$ si ottiene $uv=2r^2$
Passiamo ora all'area: il semiperimetro è $p=x+y+r$ e poiché $r=S/p$ si ha
$S=rp=r(x+y+r)=r(u+r+v+r+r)=r(u+v+3r)$
Quindi l'area è minima quando lo è $u+v$, ma un teorema afferma che se due numeri positivi hanno prodotto costante, la loro somma è minima quando sono uguali, perciò $u=v->x=y->AB=AC$.
Nomenclatura: $ABC$ è il triangolo, rettangolo in $A$; i punti di tangenza con $AB,AC,BC$ sono $D,E,F$; il raggio è $r=AD=AE$; pongo $x=BD=BF, y=CE=CF$.
Per Pitagora
$(x+y)^2=(x+r)^2+(y+r)^2$
...
$xy=r(x+y)+r^2$
$xy-r(x+y)+r^2=2r^2 ->(x-r)(y-r)=2r^2$
Con la sostituzione $u=x-r, v=y-r$ si ottiene $uv=2r^2$
Passiamo ora all'area: il semiperimetro è $p=x+y+r$ e poiché $r=S/p$ si ha
$S=rp=r(x+y+r)=r(u+r+v+r+r)=r(u+v+3r)$
Quindi l'area è minima quando lo è $u+v$, ma un teorema afferma che se due numeri positivi hanno prodotto costante, la loro somma è minima quando sono uguali, perciò $u=v->x=y->AB=AC$.
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