Problemi di massimo e di minimo sui triangoli

[Marko0]

Salve a tutti!
Approdo anch'io nella sezione Matematica...
Volevo chiedere se qualcuno poteva spiegarmi il procedimento di un paio di problemi (che credo siano facili) nei quali bisogna usare la derivata e i massimi e i minimi... (faccio il 5 anno di liceo scientifico)

ecco qui:

1- Di tutti i traingoli rettangoli della medesima ipotenusa qual'è quello di area massima?
(risposta: l'isoscele)

2- Di tutti i triangoli rettangoli nei quali è costante la somma dei cateti, qual'è quello di minima ipotenusa?
(risposta: l'isoscele)

3- Di tutti i triangoli rettangoli nei quali è costante la somma dei cateti, qual'è quello di massima area?
(risposta: l'isoscele)

come potete notare il libro mi fornisce la risposta, ma mi serve il procedimento...
Ricordo: usando massimi e minimi delle derivate...

Grazie a tutti anticipatamente! Buona matematica a tutti!

[Pillaus]

Intanto, chiamiamo a e b i cateti, e c l'ipotenusa

1) Ti stai chiedendo quant'è l'area, che è a*b/2, sapendo che c è costante; scrivi col teorema di pitagora che b = radicedi(c^2 - a^2), e tratta c come una costante. L'area è dunque
a * radicedi(c^2 - a^2) /2
La derivata:
radicedi(c^2 - a^2) - a^2 / radicedi(c^2 - a^2) = 0
c^2 - a^2 - a^2 = 0
a = c/radicedi(2)
ergo il triangolo è isoscele

2) stavolta è la somma dei cateti ad essere costante. chiamo s = a +b questa somma. L'ipotenusa è radicedi(a^2 + b^2) = radicedi(a^2 + (s-a)^2) = radicedi(2a^2 - 2as + s^2)
Siccome l'ipotenusa è massimo quando il suo quadrato è massimo, deriviamo il radicando
4a - 2s = 0 => a = s/2
cioè b = s - a = s/2 = a, per cui il triangolo è isoscele

3) come prima, s è la somma; l'area è ab/2 = a(s-a)/2 = (sa - a^2)/2 ; la derivata è
s - 2a = 0 => a = s/2; come prima il triangolo è isoscele

[Marko0]

Pillaus, mi sei stato di grande aiuto!
Non finirò mai di ringraziarti, davvero! ;)

[lili1988]

Salve, anch'io frequento il quinto liceo scientifico...e sto affrontando lo stesso argomento... per quanto riguarda il primo problema, nn capisco come ti è risultata la derivata...nn dovrei usare la formula: [f'(x)g(x)-(g'(x)f(x))]/ g(x)^2 con f(x)=a*radicedi(c^2-a^2) e g(x)= 2?? spero di essere stata chiara...attendo una risp.
grazie!

[Pillaus]

si, ma ricorda che g(x)=2 è costante, quindi g'(x) = 0! Ricordati che la derivata di una funzione per una costante (1/2) è la costante per la derivata!