Problemi di geometria,con i criteri di similitudine.
1)Nel triangolo ABC sia l'angolo A= 2*C e sia D il punto in cui la bisettrice dell'angolo A interseca il lato BC.Dimostrare che AB è medio proporzionale tra BC e BD.
2) Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB è il doppio della minore. Detto E il punto comune all'altezza DH e alla diagonale AC,dimostrare che i triangolo ABE e CDE sono equivalenti.
2) Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB è il doppio della minore. Detto E il punto comune all'altezza DH e alla diagonale AC,dimostrare che i triangolo ABE e CDE sono equivalenti.
Risposte
Soluzioni:
1)Nel triangolo ABC sia l'angolo A= 2*C e sia D il punto in cui la bisettrice dell'angolo A interseca il lato BC.Dimostrare che AB è medio proporzionale tra BC e BD.
Il "medio proporzionale" di due numeri è la radice quadrata del prodotto dei due numeri. In altre parole occorre dimostrare che:
I traingoli ABD e ABC sono tra loro simili.
Infatti l'angolo DAB è pari all'angolo C, giacchè è pari alla metà dell'angolo A per costruzione. Il lato AB è invece in comune, così come l'angolo con vertice in B.
Sono dunque simili per il primo criterio di similitudine.
Se sono simili, i lati saranno tra loro proporzionali.
AB (base di ABD) è quindi proporzionale a BC (base di ABC), perchè i due lati sottendono, nel triangolo ABD e ABC angoli uguali.
Per la stessa ragione BD(lato di ABD) ha la stessa identica proprorzionalità con AB (lato di ABC).
Quindi
2) Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB è il doppio della minore. Detto E il punto comune all'altezza DH e alla diagonale AC,dimostrare che i triangolo ABE e CDE sono equivalenti.
Due triangoli sono euqivalenti quando hanno la stessa area.
Occorre dimostrare duneu che
Poichè
I due prodotti sono uguali se dimostro che
Ora, i triangoli AEH e EDC sono tra loro simili, perchè hanno gli angoli uguali.
Essendo simili, i loro lati sono tra loro proporzionali.
Il segmento
Ma allora anche
L'equivalenza dei due traignoli è dimostrata.
1)Nel triangolo ABC sia l'angolo A= 2*C e sia D il punto in cui la bisettrice dell'angolo A interseca il lato BC.Dimostrare che AB è medio proporzionale tra BC e BD.
Il "medio proporzionale" di due numeri è la radice quadrata del prodotto dei due numeri. In altre parole occorre dimostrare che:
[math]BC:AB = AB: BD[/math]
I traingoli ABD e ABC sono tra loro simili.
Infatti l'angolo DAB è pari all'angolo C, giacchè è pari alla metà dell'angolo A per costruzione. Il lato AB è invece in comune, così come l'angolo con vertice in B.
Sono dunque simili per il primo criterio di similitudine.
Se sono simili, i lati saranno tra loro proporzionali.
AB (base di ABD) è quindi proporzionale a BC (base di ABC), perchè i due lati sottendono, nel triangolo ABD e ABC angoli uguali.
Per la stessa ragione BD(lato di ABD) ha la stessa identica proprorzionalità con AB (lato di ABC).
Quindi
[math]BC:AB = AB: BD[/math]
2) Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB è il doppio della minore. Detto E il punto comune all'altezza DH e alla diagonale AC,dimostrare che i triangolo ABE e CDE sono equivalenti.
Due triangoli sono euqivalenti quando hanno la stessa area.
Occorre dimostrare duneu che
[math]AB*EH = DC*ED[/math]
Poichè
[math]AB = 2 DC[/math]
, posso scrivere:[math]2DC*EH = DC*ED[/math]
I due prodotti sono uguali se dimostro che
[math]ED = 2EH[/math]
.Ora, i triangoli AEH e EDC sono tra loro simili, perchè hanno gli angoli uguali.
Essendo simili, i loro lati sono tra loro proporzionali.
Il segmento
[math]AH = (AB -DC)/2 = (2DC-DC)/2 = DC/2[/math]
Ma allora anche
[math]EH = ED/2[/math]
.L'equivalenza dei due traignoli è dimostrata.
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