Problemi di geometria piana di secondo grado

[Arongrawp]

Buonasera, ho un problema dal quale non riesco a uscirne:
nel trapezio rettangolo ABCD sono date le basi AB=14 e DC= 12 e il lato perpendicolare alle basi AD=8. detti M e N i punti medi delle basi, determinare su MN un punto P in modo che risulti : (PA) ^2 + (PD) ^2 = k[(AD)^2]

So che questo tipo di problema va risolto applicando seni e coseni ma, dopo aver fatto il disegno non riesco a trovare il modo di risolverlo soprattutto perche non capisco l'impostazione di questi tipi di problemi geometrici. Se qualcuno fosse cosi gentile da spiegarmi solamente l'impostazione gli sarei grato.
Grazie

Ah e la soluzione è : 1 sol. per k = 17/8;81/32 ; 2 sol. per k = 9/5;17/8

[giammaria2]

Non è un problema semplice; se la difficoltà è capire come impostare i problemi geometrici, sarebbe meglio iniziare con qualcosa di più abbordabile. Se invece si desidera risolvere questo particolare problema, io ne vedo due metodi, entrambi non facilissimi (forse si può fare di meglio). Tutti due iniziano indicando con H la proiezione di N su AB ed osservando il triangolo rettangolo NHM; ne indico lo svolgimento solo fino al calcolo di PA e PD.

METODO 1 (senza trigonometria: mi sembra il più rapido e spontaneo)
Per P si traccia la parallela a NH, che incontra AB in K e CD in L. POsto $PK=x$, dalla similitudine dei triangoli NHM e PKM si ricava KM e quindi $AK=AM-KM$, deducendone AP con Pitagora. Ora considero il triangolo DLP: DL è uguale ad AK, PL calcolabile come differenza, e se ne deduce PD.

METODO 2 (con la trigonometria)
Nel triangolo rettangolo NHM calcolo l'ipotenusa NM e seno e coseno di $alpha=A \hatM N$; pongo poi $P \hatA M=x$. Dal triangolo APM calcolo AP e PM col teorema dei seni. Passo al triangolo DNP: DN è noto, PN è calcolabile come differenza e l'angolo compreso è supplementare di $alpha$, quindi calcolo DP con Carnot.

Adesso proverò a fare veramente i calcoli: la soluzione che indichi mi sembra di tipo assurdo.

[Arongrawp]

scusa giammaria posso porti un'altra domanda sul problema o è vietato?

[giammaria2]

Non credo sia vietato, purché tu non chieda l'intera soluzione del problema: quella devi farla tu, altrimenti non impari.
Comunque ho fatto i calcoli: la risposta è: 2 soluzioni per $9/5<=k<=17/8$; 1 soluzione per $17/8

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[Arongrawp]

sto cercando di seguire il tuo primo metodo ma non capisco come trovare KM dalla similitudine dei due triangoli, ho anche provato con la trigonometria che sto studiando proprio ora ma che in realta non sapevo nemmeno di averla cominciata, comunque esendo anche una cosa un po complicata mi rimane il dubbio di come trovare KM dalla similtudine dei due triangoli rettangoli NHM e PKM. Per inciso è moolto più interessante risolto con la trigonometria

[giammaria2]

In triangoli simili i lati sono proporzionali: quindi $KM: PK= HM: NH$. Ma si ha $PK=x, HM=AM-AH=7-6=1, NH=AD=8$; sostituendo ottieni $KM: x=1: 8$ e quindi $KM=(x*1)/8=x/8$

[Arongrawp]

grazie giammaria, ti ringrazio molto, sei stato molto esaustivo.

[pica93]

Salve grazie è stato un aiuto utilissimo...vorrei chiedere una cortesia però...quale dovrebbe essere l'equazione finale della parabola per poi discutere la parametrica??? Perchè forse c'è qualcosa che non va con i conti che ho fatto solo che vorrei capire almeno se sbaglio dopo o prima.... grazie in anticipo....domani ho compito

[giammaria2]

Con l'incognita che avevo proposto io ottengo $65/32 x^2-39/2 x+162=64k$

[pica93]

mi esce esattamente cosi solo che boh forse sbaglio qualcosa...non riesco a trovare il vertice della parabola

[giammaria2]

Non so che parabola hai usato; se è $y=$primo membro della mia equazione, il vertice è $(24/5, 576/5)$. Con numeri brutti come questi, gli errori di distrazione sono probabili. Se invece hai usato $y=k$, il vertice è $(24/5,9/5)$

[pica93]

ci sono riuscita =) forse era sbagliato qualche calcolo...Grazie Mille...