Problemi di geometria di II superiore
Ciao vi chiedo un ultimo aito con questi problemi, sono difficilissimi per me e non riesco proprio a farli.
1. Considera un triangolo equilatero ABC, di lato l. Un rettangolo PQRS, inscritto nel triangolo, con il lato PQ su AB, ha il perimetro di misura (9-2 radice quadrata di 3)l tutto fratto 3. Determina le misure dei lati di PQRS. ( dovrebbe risultare 1/2 e (3- radice quad. di 3) tutto fratto 3).
2. Considera un triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a. Determina un punto P, sul lato BC, in modo che risulti PA^2+ PB^2 =2PC^2 ( risulta PB=x e x = a/3)
3. Considera un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa BC, i cui lati obliqui misurano a. Determina un punto P, appartenente a BC, in modo che risulti PA^2- PB^2= 1/2a^2. ( PB=x e deve uscire x= a radice quad. di 2 tutto fratto 4.)
4. Considera un triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a. Determina un punto P sul lato BC, in modo che detta H la proiezione di P su AB e K la proiezione di H su AC, risulti PH+ HK= 2/3 a radice quad. di 3. (deve uscire PB= 2/3a)
5. Considera un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB= 5a e base minore CD= 3a, in cui gli angoli adiacenti alla base maggiore del trapezion sono di 60 gradi.
a. Determina il perimetro e l'area del trapezio.
b. Determina un punto P, sulla base minore CD, in modo che risulti PA^2+ PB^2 = 2PC^2+ 2BC^2. ( deve uscire a. perimetro= 12a; Area= 4a^2 radice quad. di 3. b. PC= 5/2a). grazie mille a chi riuscià ad aiutarmi. non so veramente come fare a ringraziare. spero riuscirete a capire i problemi. grazie mille.
1. Considera un triangolo equilatero ABC, di lato l. Un rettangolo PQRS, inscritto nel triangolo, con il lato PQ su AB, ha il perimetro di misura (9-2 radice quadrata di 3)l tutto fratto 3. Determina le misure dei lati di PQRS. ( dovrebbe risultare 1/2 e (3- radice quad. di 3) tutto fratto 3).
2. Considera un triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a. Determina un punto P, sul lato BC, in modo che risulti PA^2+ PB^2 =2PC^2 ( risulta PB=x e x = a/3)
3. Considera un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa BC, i cui lati obliqui misurano a. Determina un punto P, appartenente a BC, in modo che risulti PA^2- PB^2= 1/2a^2. ( PB=x e deve uscire x= a radice quad. di 2 tutto fratto 4.)
4. Considera un triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a. Determina un punto P sul lato BC, in modo che detta H la proiezione di P su AB e K la proiezione di H su AC, risulti PH+ HK= 2/3 a radice quad. di 3. (deve uscire PB= 2/3a)
5. Considera un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB= 5a e base minore CD= 3a, in cui gli angoli adiacenti alla base maggiore del trapezion sono di 60 gradi.
a. Determina il perimetro e l'area del trapezio.
b. Determina un punto P, sulla base minore CD, in modo che risulti PA^2+ PB^2 = 2PC^2+ 2BC^2. ( deve uscire a. perimetro= 12a; Area= 4a^2 radice quad. di 3. b. PC= 5/2a). grazie mille a chi riuscià ad aiutarmi. non so veramente come fare a ringraziare. spero riuscirete a capire i problemi. grazie mille.
Risposte
Ciao diana,
ho cancellato la risposta per 2 motivi:
1) la soluzione non era pertinente al testo
2) era copiata da un sito concorrente
Nonostante il testo sia simile non è uguale. Ti chiedo pertanto di fare più attenzione la prossima volta e di non copiare da altri siti.
Saluti, Gabry.
ho cancellato la risposta per 2 motivi:
1) la soluzione non era pertinente al testo
2) era copiata da un sito concorrente
Nonostante il testo sia simile non è uguale. Ti chiedo pertanto di fare più attenzione la prossima volta e di non copiare da altri siti.
Saluti, Gabry.
Ciao Gabry. Mi dispiace ma non ho copiato da un altro sito ma dal mio libro. Comunque se non vuoi rispondere mi potresti dire in che sito gli hai trovati se c'è anche la soluzione?? Grazie
Ciao cloudy,
la mia risposta non era riferita a te. So che i problemi li hai presi dal libro ma la risposta che aveva dato diana era copiata da un altro sito e peraltro sbagliata, per questo l'ho cancellata.
Saluti.
la mia risposta non era riferita a te. So che i problemi li hai presi dal libro ma la risposta che aveva dato diana era copiata da un altro sito e peraltro sbagliata, per questo l'ho cancellata.
Saluti.
A ok scusami tanto Gabry. Pensavo fosse riferita a me. Mi dispiace, però se ti dovessero uscire i problemi mi potresti aiutare?? Grazie
Ciao, ti posto lo svolgimento dell’esercizio 5 che hai chiesto.
Aggiunto 43 secondi più tardi:
Fammi sapere se ti è chiaro lo svolgimento:)
Aggiunto 43 secondi più tardi:
Fammi sapere se ti è chiaro lo svolgimento:)
Grazie dianarsi, lo svolgimento è abbastanza chiaro anche se nei problemi non abbiamo mai usato il sin e cos, però manca un pezzo. Grazie mille però per questa parte
Sto svolgendo anche la seconda parte e gli altri esercizi, appena li ho fatti te li posto qui sotto
Ciao,
1)
Considero il triangolo equilatero ABC; esso ha: AB=BC=AC=l
Indico con x la base del rettangolo(PQ) e con y la sua altezza (QR). Con riferimento alla figura,si deduce che:
AP=QB=(l-x)/2
consideriamo i triangoli APS e BQR;se li uniamo essi formano un triangolo equilatero di lato (l- x) e altezza che sarà uguale all'altezza del rettangolo.
calcoliamo l'altezza di questo nuovo triangolo:
h=L√3/2=(l-x)√3/2
Consideriamo il rettangolo;si ha:
y=PS=QR=(l-x)√3/2 (1)
e
x=PQ=SR
Quindi possiamo scrivere che:
2x+2y=P
2x+2y=(9-2√3)l/3
sostituendo a y la (1), si ottiene:
2x+√3(l-x)=(9/3)l-(2√3/3)l
2x+√3l-√3x=3l-(2√3/3)l
√3l+(2-√3)x=3l-(2√3/3)l
(2-√3)x=3l-(2√3/3)l-√3l
(2-√3)x=3l-(5√3/3)l
x=(9-5√3/3)l•1/(2-√3)
razionalizzando si ottiene che:
x=[(9-5√3)/3(4-3)] l•(2-√3)=[(9-5√3)/3)] l•(2-√3)= (18+9√3-15-10√3)/3 l
x=(3-√3)/3 l
sostituendo nella (1) si ottiene:
y=√3/2[l-(3-√3)/3 l]=√3/2[l-3/3l+√3/3l]=√3/2[l-l+√3/3l]=√3/2•(√3/3l)=3/6l=1/2l
Le misure dei lati del rettangolo sono:
PQ=SR=(3-√3)/3 l e PS=QR=1/2l
spero sia stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a dopo con gli altri esercizi.
saluti :-)
1)
Considero il triangolo equilatero ABC; esso ha: AB=BC=AC=l
Indico con x la base del rettangolo(PQ) e con y la sua altezza (QR). Con riferimento alla figura,si deduce che:
AP=QB=(l-x)/2
consideriamo i triangoli APS e BQR;se li uniamo essi formano un triangolo equilatero di lato (l- x) e altezza che sarà uguale all'altezza del rettangolo.
calcoliamo l'altezza di questo nuovo triangolo:
h=L√3/2=(l-x)√3/2
Consideriamo il rettangolo;si ha:
y=PS=QR=(l-x)√3/2 (1)
e
x=PQ=SR
Quindi possiamo scrivere che:
2x+2y=P
2x+2y=(9-2√3)l/3
sostituendo a y la (1), si ottiene:
2x+√3(l-x)=(9/3)l-(2√3/3)l
2x+√3l-√3x=3l-(2√3/3)l
√3l+(2-√3)x=3l-(2√3/3)l
(2-√3)x=3l-(2√3/3)l-√3l
(2-√3)x=3l-(5√3/3)l
x=(9-5√3/3)l•1/(2-√3)
razionalizzando si ottiene che:
x=[(9-5√3)/3(4-3)] l•(2-√3)=[(9-5√3)/3)] l•(2-√3)= (18+9√3-15-10√3)/3 l
x=(3-√3)/3 l
sostituendo nella (1) si ottiene:
y=√3/2[l-(3-√3)/3 l]=√3/2[l-3/3l+√3/3l]=√3/2[l-l+√3/3l]=√3/2•(√3/3l)=3/6l=1/2l
Le misure dei lati del rettangolo sono:
PQ=SR=(3-√3)/3 l e PS=QR=1/2l
spero sia stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a dopo con gli altri esercizi.
saluti :-)
Grazie mille ancore91. Conto su di te con l'aiuto degli altri esercizi
Aggiunto 53 secondi più tardi:
Scusa volevo scrivere antore91
Aggiunto 53 secondi più tardi:
Scusa volevo scrivere antore91
2) Considero il triangolo equilatero ABC in figura;
esso ha: AB=BC=AC=a
Indico con PB=x e abbiamo che:
PC=a-x
Consideriamo il triangolo APB con l'angolo α=60°
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno)si ricava che:
PA²=PB²+AB²-2(PB)(AB) •cosα
cioè:
PA²=x²+a²-2ax•cos(60°)
PA²=x²+a²-ax
Per determinare il punto P consideriamo la relazione:
PA²+PB=2PC²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
(x²+a²-ax)+x²=2(a-x)²
risolvendo si ottiene:
x²+a²-ax+x²=2(a²+x²-2a)
2x²+a²-ax=2a²+2x²-4ax
a²-ax=2a²-4ax
-ax+4ax=2a²-a²
3ax=a²
x=a²/3a=a/3
x=a/3
3)
Considero il triangolo rettangolo ABC in figura;
esso ha: AB=BC=a e BC l'ipotenusa.
Sia P un punto su BC;indico con PB=x.
Consideriamo il triangolo APB con l'angolo B=45°
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno)si ricava che:
PA²=PB²+AB²-2(PB)(AB)•cosB
cioè:
PA²=x²+a²-2ax•cos(45°)
PA²=x²+a²-2ax(√2/2)
PA²=x²+a²-ax√2
Per determinare il punto P consideriamo la relazione data:
PA²+PB=1/2a²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
(a²+x²-ax√2) - x²=1/2a²
risolvendo si ha:
a²-ax√2=1/2a²
-ax√2=1/2a²-a²
ax√2=a²-1/2a²
ax√2=2a²-a/2a
ax√2=a²/2
x=(a²/2)/a√2=a²/2×1/a√2=a/2√2
x=a/2√2
razionalizzando si ottiene:
x=(a/2√2) ×(2√2/2√2) =[(√2)/(2·√2·√2)]a=√2/(2·2)a= √2/4a
x=√2/4a
spero sia stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a domani con gli altri esercizi.
saluti :-)
esso ha: AB=BC=AC=a
Indico con PB=x e abbiamo che:
PC=a-x
Consideriamo il triangolo APB con l'angolo α=60°
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno)si ricava che:
PA²=PB²+AB²-2(PB)(AB) •cosα
cioè:
PA²=x²+a²-2ax•cos(60°)
PA²=x²+a²-ax
Per determinare il punto P consideriamo la relazione:
PA²+PB=2PC²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
(x²+a²-ax)+x²=2(a-x)²
risolvendo si ottiene:
x²+a²-ax+x²=2(a²+x²-2a)
2x²+a²-ax=2a²+2x²-4ax
a²-ax=2a²-4ax
-ax+4ax=2a²-a²
3ax=a²
x=a²/3a=a/3
x=a/3
3)
Considero il triangolo rettangolo ABC in figura;
esso ha: AB=BC=a e BC l'ipotenusa.
Sia P un punto su BC;indico con PB=x.
Consideriamo il triangolo APB con l'angolo B=45°
Dal teorema di Carnot(teorema del coseno)si ricava che:
PA²=PB²+AB²-2(PB)(AB)•cosB
cioè:
PA²=x²+a²-2ax•cos(45°)
PA²=x²+a²-2ax(√2/2)
PA²=x²+a²-ax√2
Per determinare il punto P consideriamo la relazione data:
PA²+PB=1/2a²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
(a²+x²-ax√2) - x²=1/2a²
risolvendo si ha:
a²-ax√2=1/2a²
-ax√2=1/2a²-a²
ax√2=a²-1/2a²
ax√2=2a²-a/2a
ax√2=a²/2
x=(a²/2)/a√2=a²/2×1/a√2=a/2√2
x=a/2√2
razionalizzando si ottiene:
x=(a/2√2) ×(2√2/2√2) =[(√2)/(2·√2·√2)]a=√2/(2·2)a= √2/4a
x=√2/4a
spero sia stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a domani con gli altri esercizi.
saluti :-)
Grazie ancora
5)
Consideriamo il trapezio isoscele ABCD in figura.
Abbiamo che:
AB=5a , CD=3a e DÂB=ABC=60°
a)
calcoliamo la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore:
HB =(AB-CD)/2=(5a-3a)/2=2a/2=a
Essendo l'angolo in B=60°, il triangolo CHB risulta metà triangolo equilatero;
il lato obliquo del trapezio risulta essere:
BC=2HB=2a
e
l'altezza del trapezio:
CH=BC√3/2=2a√3/2=a√3
calcoliamo il perimetro del trapezio:
P=AB+CD+2BC= 5a+3a+2(2a)=5a+3a+4a=12a
calcoliamo l'area del trapezio:
A=[(AB+DC)×CH]/2=[(5a+3a)×√3a]/2=[8a×a√3]/2=8√3a²/2=4√3a²
b)
Sia P un punto sulla base minore CD.
Consideriamo i triangoli PCB e PDA con gli angoli C=D=120°
applicando il teorema di Carnot (teorema del coseno) al triangolo PCB, si ricava che:
PB²=PC²+BC²-2(PC)(BC) •cos120°
PB²=PC²+BC²-2(PC)(BC) •(-1/2)
PB²=PC²+BC²+(PC)(BC)
Analogamente per il triangolo PDA, si ha:
PA²=PD²+DA²-2(PD)(DA) •cos120°
PA²=PD²+DA²-2(PD)(DA) •(-1/2)
PA²=PD²+DA²+(PD)(DA)
Consideriamo,ora, la relazione data:
PA²+PB=2PC²+2BC²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
PD²+DA²+(PD)(DA)+ PC²+BC²+(PC)(BC) =2PC²+2BC²
Essendo DA=BC, si ha:
PD²+BC²+(PD)(BC)+ PC²+BC²+(PC)(BC) =2PC²+2BC²;
PD²+(PD)(BC)+ PC²+(PC)(BC) =2PC² (1)
Posto PC=x e PD=3a-x,riscriviamo la (1) come:
(3a-x)²+(3a-x)(2a)+x²+(x)(2a)=2x²
Risolvendo si ottiene
9a²-6a+x²+6a²-2ax+x²+2ax=2x²
15a²-6ax=0
-6ax=-15a²
6ax=15a²
x=15a²/6a=5/2a
x=5/2a
Quindi PC=5/2a
spero di esseri stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a dopo con l'ultimo esercizio.
saluti :-)
Consideriamo il trapezio isoscele ABCD in figura.
Abbiamo che:
AB=5a , CD=3a e DÂB=ABC=60°
a)
calcoliamo la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore:
HB =(AB-CD)/2=(5a-3a)/2=2a/2=a
Essendo l'angolo in B=60°, il triangolo CHB risulta metà triangolo equilatero;
il lato obliquo del trapezio risulta essere:
BC=2HB=2a
e
l'altezza del trapezio:
CH=BC√3/2=2a√3/2=a√3
calcoliamo il perimetro del trapezio:
P=AB+CD+2BC= 5a+3a+2(2a)=5a+3a+4a=12a
calcoliamo l'area del trapezio:
A=[(AB+DC)×CH]/2=[(5a+3a)×√3a]/2=[8a×a√3]/2=8√3a²/2=4√3a²
b)
Sia P un punto sulla base minore CD.
Consideriamo i triangoli PCB e PDA con gli angoli C=D=120°
applicando il teorema di Carnot (teorema del coseno) al triangolo PCB, si ricava che:
PB²=PC²+BC²-2(PC)(BC) •cos120°
PB²=PC²+BC²-2(PC)(BC) •(-1/2)
PB²=PC²+BC²+(PC)(BC)
Analogamente per il triangolo PDA, si ha:
PA²=PD²+DA²-2(PD)(DA) •cos120°
PA²=PD²+DA²-2(PD)(DA) •(-1/2)
PA²=PD²+DA²+(PD)(DA)
Consideriamo,ora, la relazione data:
PA²+PB=2PC²+2BC²
sostituendo i valori trovati in precedenza, possiamo scrivere:
PD²+DA²+(PD)(DA)+ PC²+BC²+(PC)(BC) =2PC²+2BC²
Essendo DA=BC, si ha:
PD²+BC²+(PD)(BC)+ PC²+BC²+(PC)(BC) =2PC²+2BC²;
PD²+(PD)(BC)+ PC²+(PC)(BC) =2PC² (1)
Posto PC=x e PD=3a-x,riscriviamo la (1) come:
(3a-x)²+(3a-x)(2a)+x²+(x)(2a)=2x²
Risolvendo si ottiene
9a²-6a+x²+6a²-2ax+x²+2ax=2x²
15a²-6ax=0
-6ax=-15a²
6ax=15a²
x=15a²/6a=5/2a
x=5/2a
Quindi PC=5/2a
spero di esseri stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
a dopo con l'ultimo esercizio.
saluti :-)
Grazie, sei stato veramente utile. Aspetto l'ultimo problema
Ciao,
potresti controllare il testo dell'esercizio n. 4 e il risultato.
Ho provato un sacco di volte ma non torna.
Fammi sapere.
Saluti :-)
potresti controllare il testo dell'esercizio n. 4 e il risultato.
Ho provato un sacco di volte ma non torna.
Fammi sapere.
Saluti :-)
No il testo l'ho ricontrollato ma è uguale. Cosa ti risulta??
Mi risulta che PB=7/15a.
l risultato che i riporti tu è diverso.
l risultato che i riporti tu è diverso.
Non so come mai, sul libro c'è scritto così
Va bene.
Allora sicuramente sbaglio io con i calcoli.
Ora ricontrollo.
Ti faccio sapere.
Saluti :-)
Allora sicuramente sbaglio io con i calcoli.
Ora ricontrollo.
Ti faccio sapere.
Saluti :-)
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