Problemi di geometria con la similitudine
potreste spiegarmi come risolvere questi problemi di geometria con la similitudine:
1.il perimetro di un triangolo isoscele è 80 cm. il rapporto tra l'altezza relativa alla base e la base è 2/3. calcola il lato del quadrato inscritto nel triangolo che ha un lato appartenente alla base del triangolo.
2.la base AB di un triangolo è lunga 10 cm. una retta parallela alla base, che interseca i lati obliqui nei punti D e E, divide l'altezza relativa alla base,CK, in due segmenti CH e HK il cui rapporto è 2/3. determina la lunghezza del segmento DE.
grazie mille in anticipo....
Aggiunto 5 ore 49 minuti più tardi:
si è giusto il testo e dovrebbe risultare 12 cm
1.il perimetro di un triangolo isoscele è 80 cm. il rapporto tra l'altezza relativa alla base e la base è 2/3. calcola il lato del quadrato inscritto nel triangolo che ha un lato appartenente alla base del triangolo.
2.la base AB di un triangolo è lunga 10 cm. una retta parallela alla base, che interseca i lati obliqui nei punti D e E, divide l'altezza relativa alla base,CK, in due segmenti CH e HK il cui rapporto è 2/3. determina la lunghezza del segmento DE.
grazie mille in anticipo....
Aggiunto 5 ore 49 minuti più tardi:
si è giusto il testo e dovrebbe risultare 12 cm
Risposte
scs io faccio solo la terza media...altrimenti ti avrei aiutata :move
1) Tracciato il quadrato inscritto, noti che si formano 3 triangoli all'esterno del quadrato.
Quello superiore e' simile al triangolo originario. Infatti con esso condivide un angolo (quello al vertice) e ha gli angoli alla base congruenti (infatti il lato superiore del quadrato e' parallelo al lato inferiore (ovvero alla base del triangolo) e quindi segnando angoli alterni interni ricavi che gli angoli sono tutti congruenti.
Analogamente i due triangoli che si formano ai lati del quadrato, sono simili ai due triangoli rettangoli meta' del triangolo isoscele, perche' rettangoli e con un angolo condiviso (l'angolo alla base)
Poni base =x
Siccome il rapporto tra altezza e base e' 2/3 allora altezza = 2/3 base = 2/3x
L'altezza sara' pertanto 2/3x, e siccome il triangolo e' isoscele, l'altezza divide la base in due segmenti congruenti di lunghezza 1/2 x
E il lato obliquo sara' per il teorema di Pitagora:
Quindi il perimetro che e' 80 sara':
Pertanto la base del triangolo misurera' 30, l'altezza i suoi 2/3 (quindi 20) il lato obliquo i suoi 5/6 (quindi 25).
Aggiunto 7 minuti più tardi:
A questo punto considera che il quadrato inscritto sara' simmetrico rispetto all'altezza perche' il triangolo e' isoscele.
Chiama pertanto 2y il lato del quadrato.
Considera ora:
il triangolo in basso a sinistra (che ha come cateto il lato del quadrato (y)) e come altro cateto la meta' della base (15) a cui togli meta' del lato del quadrato (y/2).
Considera anche uno dei due triangoli rettangoli in cui e' diviso il triangolo isoscele che si e' formato sopra il quadrato.
Esso avra' come cateti, meta' del lato del quadrato (y/2) e l'altezza del triangolo originario (20) a cui togli il lato del quadrato.
Siccome in premessa ti ho dimostrato che questi due triangoli sono simili, dovra' essere:
Da cui
E dunque
e quindi il lato del quadrato sara' 12
Quello superiore e' simile al triangolo originario. Infatti con esso condivide un angolo (quello al vertice) e ha gli angoli alla base congruenti (infatti il lato superiore del quadrato e' parallelo al lato inferiore (ovvero alla base del triangolo) e quindi segnando angoli alterni interni ricavi che gli angoli sono tutti congruenti.
Analogamente i due triangoli che si formano ai lati del quadrato, sono simili ai due triangoli rettangoli meta' del triangolo isoscele, perche' rettangoli e con un angolo condiviso (l'angolo alla base)
Poni base =x
Siccome il rapporto tra altezza e base e' 2/3 allora altezza = 2/3 base = 2/3x
L'altezza sara' pertanto 2/3x, e siccome il triangolo e' isoscele, l'altezza divide la base in due segmenti congruenti di lunghezza 1/2 x
E il lato obliquo sara' per il teorema di Pitagora:
[math] \sqrt{ \frac14 x^2 + \frac49 x^2} = \sqrt{\frac{25}{36}x^2}= \frac56 x [/math]
Quindi il perimetro che e' 80 sara':
[math] \frac56x+\frac56x+x=80 \to 16x=480 \to x= 30[/math]
Pertanto la base del triangolo misurera' 30, l'altezza i suoi 2/3 (quindi 20) il lato obliquo i suoi 5/6 (quindi 25).
Aggiunto 7 minuti più tardi:
A questo punto considera che il quadrato inscritto sara' simmetrico rispetto all'altezza perche' il triangolo e' isoscele.
Chiama pertanto 2y il lato del quadrato.
Considera ora:
il triangolo in basso a sinistra (che ha come cateto il lato del quadrato (y)) e come altro cateto la meta' della base (15) a cui togli meta' del lato del quadrato (y/2).
Considera anche uno dei due triangoli rettangoli in cui e' diviso il triangolo isoscele che si e' formato sopra il quadrato.
Esso avra' come cateti, meta' del lato del quadrato (y/2) e l'altezza del triangolo originario (20) a cui togli il lato del quadrato.
Siccome in premessa ti ho dimostrato che questi due triangoli sono simili, dovra' essere:
[math] (15- \frac{y}{2} ) : (y) = \frac{y}{2} : (20-y) [/math]
Da cui
[math] (15- \frac{y}{2} ) ( 20 - y ) = \frac{y^2}{2} [/math]
E dunque
[math] 300-15y-10y+ \frac{y^2}{2}= \frac{y^2}{2} \to 25y=300 \to y=12 [/math]
e quindi il lato del quadrato sara' 12
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