Problemi di geometria con equazioni di secondo grado

[nicola1008]

mi servirebbe un aiuto a svolgere 2 problemi di geometria utilizzando le equazioni di secondo grado. queste ultime non le ho proprio capite, quindi se nel risolvere questi due problemi mi spiegate anche come riuscire a farli ve ne sarei grato.

1) L'area di un triangolo rettangolo è di 120. determina l'ipotenusa, sapendo che un cateto è pari alla metà dell'altro cateto aumentata di 2. [ris. 4* radice di 34]

2) in un trapezio rettangolo la base minore è lunga 4 in meno della maggiore e 1 in meno dell'altezza. determina il perimetro del trapezio, sapendo che la sua area è di 12 [ris. 16]

[Ali Q]

Soluzione:

1) L'area di un triangolo rettangolo è di 120. determina l'ipotenusa, sapendo che un cateto è pari alla metà dell'altro cateto aumentata di 2.

Chiamo:
i = ipotenusa
c1 = primo cateto
c2 = secondo cateto

Sappiamo che:

[math]A = c1 * c2/2 = 120[/math]

Dunque:

[math]120 x 2 = c1 * c2[/math]

[math]c1 * c2 = 240[/math]

Il problema ci dice indoltre che:

[math]c1 = c2/2 + 2[/math]

Sostituisco questa seconda equazione in quella precedentemente scritta:

[math]c1*c2 = (c2/2+2)*c2 = 240[/math]

[math]c2^2/2 +2c^2 = 240[/math]

[math]c2^2/2 +2c^2 - 240 =0[/math]

Risolvo l'equazione di secondo grado:

[math]Delta = b^2 -4ac = 4 +4*1/2* 240 = 4 + 480 = 484 = 22^2.[/math]

[math]c2 = [-b (+ o -)*\sqrt{delta}/2a = -2 (+ o -) 22/1 [/math]

Trattandosi di un segmento, la soluzione negativa non ha senso, dunque:

[math]c2 = 20 cm.[/math]

[math]Allora c1 = c2/2 + 2 = 10 + 2 = 12 cm.[/math]

Determiniamo l'ipotenusa con il teorema di Pitagora:

[math]i = \sqrt{c1^2 + c2^2}= \sqrt{20^2 + 12^2}=\sqrt{400 + 144}=\sqrt{544}=\sqrt{2^5*17}= 4*\sqrt{34}[/math]

2) in un trapezio rettangolo la base minore è lunga 4 in meno della maggiore e 1 in meno dell'altezza. determina il perimetro del trapezio, sapendo che la sua area è di 12

Chiamo:
b = base minore
B = base maggiore
h = altezza
l = lato obliquo

So che:

[math]b = B -4 = h-1[/math]

Questo significa che:

[math]b = B-4[/math]

E

[math]B = h-1+4 = h +3.[/math]

Ricapitolando posso scrivere che:

[math]b = h-1[/math]

[math]B = h +3[/math]

Nel trapezio l'are è pari a:
A = (B+b)*h/2.
Sostituisco:

[math]12 *2 = (B+b)*h[/math]

[math]24 = [(h-1)+(h+3)]*h[/math]

[math]24 = (2h+2)*h[/math]

[math]2h^2 +2h -24 =0[/math]

[math]Delta = 2^2 +4*2*24 = 4 + 192 = 196= 14^2[/math]

[math]h= -2 (+ o -) 14/4[/math]

Poichè la soluzione negativa non ha senso,

[math]h= 3cm[/math]

.
Quindi

[math]b = 3-1 = 2cm[/math]

[math]B = 3+3 = 6 cm.[/math]

Il lato obliquo si determina constatando che, dopo aver tracciato l'altezza, esso viene ad essere l'ipotenusa di un traingolo rettangolo, i cui un cateto è pari ad h e un latro cateto è un segmento che misura (B-b= 4 cm)

[math]l = \sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5[/math]

Quindi:

[math]P = 3+6+2+5 = 16 cm.[/math]

Ciao!