Problemi di geometria analitica con discussione (62512)

[kolio]

Sia C il centro di una cirocnferenza passante per A(-8;0) e tangente in O(0;0) alla retta di equazione 4x-3y=0. Determinare le equazioni delle rette t1 e t2 uscenti da S(-11;2) e tangenti alla circonferenza. Determinare per quali valori del parametro k appartiene a R le rette di equazione y=2x+k incontrano la circonferenza in punti del 2° quadrante. Grazie mille in anticipo mi fareste un gran favoroneeeee

Aggiunto 1 ore più tardi:

no e che con i numeri nn riesco proprio se cortesemente con i calcoli xkè nn riesco mi faresti un ulteriore favore

[BIT5]

Ti spiego cosa devi fare, poi se non riesci mi dici cosa non ti viene.

Per prima cosa la circinferenza passa per O(0,0) quindi

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

sostituisco le coordinate di O e ottengo

[math] 0^2+0^2+a0+b0+c=0 \to c=0 [/math]

La circonferenza generica diviene dunque

[math] x^2+y^2+ax+by=0 [/math]

Poi passa per A, quindi

[math] (-8 )^2+0^2-8a+0b=0 \to 64-8a=0 \to a= \frac{64}{8}=8 [/math]

La circonferenza sara' dunque

[math] x^2+y^2+8x+by=0 [/math]

Infine e' tangente a y=4/3x quindi cerchiamo i punti di intersezione generici (in funzione di b) tra le circonferenze del fascio e la retta

[math] \{x^2+y^2+8x+by=0 \\ y= \frac43 x [/math]

Risolviamo il sistema

[math] x^2+ \(\frac43x \)^2+8x+b \(\frac43x\)=0 \to \frac{25}{9}x^2+ x(8+ \frac43b)=0 [/math]

Le soluzioni dell'equazione saranno (raccolgo x)

[math] x \( \frac{25}{9}x+8+ \frac43 b \)=0 [/math]

da cui x=0 e

[math] \frac{25}{9}x+8+ \frac43b =0 [/math]

ovvero la seconda dara'

[math] \frac{25}{9}x=-8- \frac43b \to x=\frac{9}{25} \(-8- \frac43b \) [/math]

siccome queste due soluzioni devono coincidere (i punti di intersezione tra circonferenza e retta devono essere uno solo, altrimenti la retta non e' tangente, ma secante) allora la seconda soluzione dovra' essere anch'essa x=0 quindi

[math] \frac{9}{25} \(-8- \frac43b\)=0 \to \frac43b=-8 \to b=-8 \cdot \frac34 = -6 [/math]

la circonferenza avra' dunque b=-6 e sara'

[math] x^2+y^2+8x-6y=0 [/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

tra poco ti mando l'altro pezzo ;)

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Da un punto partono infinite rette.

Da un punto

[math] (x_P,y_P) [/math]

parte il fascio di rette della forma

[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]

Quindi dal punto S partono le rette

[math] y-2=m(x+11) \to y=mx+11m+2 \to mx-y+11m+2=0[/math]

Dobbiamo considerare le uniche due rette che distino dal centro della retta una distanza pari al raggio.

Calcoliamo il centro della circonferenza:

[math] x_C=- \frac{a}{2} = - \frac{8}{2}=-4 [/math]

[math] y_C= - \frac{b}{2} = - \frac{-6}{2} = +3 [/math]

E il raggio:

[math] r= \sqrt{x_C^2+y_C^2-c}= \sqrt{16+9}= \sqrt{25}=5 [/math]

La distanza di un punto

[math] P(x_P,y_P) [/math]

da une retta

[math] ax+by+c=0 [/math]

e'

[math] \frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

Quindi la distanza centro della circonferenza (-4,3) / retta mx-y+11m+2=0 , sara'

[math] \frac{|-4m-3+11+2|}{\sqrt{m^2+1}} = 5 [/math]

(dovra' essere uguale al raggio)

quindi minimo comune multiplo e semplifichiamo il denominatore

[math] |-4m+10|=5 \sqrt{m^2+1} [/math]

leviamo il valore assoluto e eleviamo al quadrato, otteniamo

[math] (-4m+10)^2 = 25 (m^2+1) [/math]

Ovvero

[math] 100-80m+16m^2 = 25m^2+25 [/math]

risolvi l'equazione e trovi i valori di m, che sostituiti al fascio, daranno le due tangenti.

Dimmi se e' chiaro e risolviamo l'ultimo punto

Cioe'???? non sei capace a risolvere questa equazione di secondo grado??

Aggiunto 2 ore 13 minuti più tardi:

y=2x+k e' un fascio di rette parallele.

Verifichiamo dapprima quando la retta interseca la circonferenza:

[math] \{x^2+y^2+8x-6y=0 \\ y=2x+k [/math]

I punti di intersezione saranno:

[math] x^2+(2x+k)^2+8x-6(2x+k)=0 \to x^2+4x^2+k^2+4xk+8x-12x-6k=0 [/math]

E quindi

[math] 5x^2+x(4k-4)-6k+k^2=0 [/math]

Che ha soluzioni (usando la ridotta) ovvero b/2=2k-2

[math] x_{1,2}= \frac{-(2k-2) \pm \sqrt{(2k-2)^2-(5)(k^2-6k)}}{5} [/math]

E dunque

[math] \frac{2-2k \pm \sqrt{4k^2-8k+4-5k^2+30k}}{5} [/math]

Ovvero

[math] \frac{2-2k \pm \sqrt{-k^2+22k+4}}{5} [/math]

Per prima cosa, dunque, quando Delta e' maggiore la retta interseca la circonferenza, pertanto

[math] -k^2+22k+4 \ge 0 \to k^2-22k-4 \le 0 [/math]

risolviamo l'equazione (sempre con la ridotta)

[math] k_{1,2}= 11 \pm \sqrt{121+24} = 11 \pm \sqrt{125} = 11 \pm 5 \sqrt5 [/math]

Quindi le intersezioni ci saranno per

[math] 11 - 5 \sqrt{5} \le k \le 11+ 5 \sqrt5 [/math]

considera infine le rette del fascio.

Esse solo per k>= 0 passano per il secondo quadrate.

per k=0 la retta sara' y=2k e tocchera' il primo e terzo quadrante, mentre per k 0 affinche' la retta stia anche nel secondo quadrante.

E siccome abbiamo trovato che le intersezioni generiche con la circonferenza si hanno per

[math] 11- 5 \sqrt{5} \le k \le 11+5 \sqrt5[/math]

Allora avremo le intersezioni NEL SECONDO QUADRANTE solo dove la retta giace nel secondo quadrante e interseca la circonferenza quindi

[math] \{k \ge 0 \\ 11- 5 \sqrt{5} \le k \le 11+5 \sqrt5[/math]

E dunque se fai il grafico del sistema

[math] 0 \le k \le 11+5 \sqrt5[/math]