Problemi di Geometria Analitica (53102)

[Dirhaborn]

Salve a tutti. Prima di postare il problema, premetto che mi servirebbe una mano solo a capire il procedimento per risolverlo visto che, grazie ai grandi professori che abbiamo avuto, in tutta la mia classe manca, o quasi, la "logica" per la geometria analitica.

Espongo i due quesiti:

1) Scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che questa passa per l'origine, ha una retta tangente di equazione 2x + 3y = 0 e il centro si trova sulla retta di equazione x + 2y - 2 = 0

2)Scrivere l'equazione di una circonferenza tangente all'asse y e passante per i punti A (-2;4)e B (-1;3)

Per quanto riguarda il primo avevo pensato di mettere a sistema le due equazioni in modo da trovare il punto in cui queste si incrociano; poi, avendo anche il punto O, tracciare una corda, trovare il punto medio e risalire, trovandomi la perpendicolare di questo punto e del punto A, al centro. Purtroppo però il coefficiente angolare risulta uguale, quindi il procedimento non va bene. Attendo notizie ^^

[BIT5]

della prima circonferenza sai che passa per l'origine, quindi sai che c=0.

Prendiamo dunque le circonferenze che soddisfano il problema:

[math] x^2+y^2+ax+by=0 [/math]

Sappiamo che il centro sara'

[math] x_C=- \frac{a}{2} [/math]

e

[math] y_C=- \frac{b}{2} [/math]

Le coordinate x e y del centro soddisfano l'equazione della retta x+2y-2=0

Quindi sara' vero che

[math] x_C+2y_C-2=0 \to - \frac{a}{2}-2 \frac{b}{2}-2=0 \to -a-2b-4=0 [/math]

E pertanto

[math] a=-2b-4 [/math]

E la circonferenza (il fascio) sara'

[math] x^2+y^2+(-2b-4)x+by=0 [/math]

Infine sappiamo che la circonferenza dovra' essere tangente alla retta, quindi troviamo le intersezioni (generiche) tra la retta e la circonferenza:

[math] \{2x+3y=0 \\ x^2+y^2+(-2b-4)x+by=0 [/math]

Dalla prima abbiamo che x=-3/2y e dunque sostituendo nella seconda:

[math] \(- \frac32 y \)^2+y^2+(-2b-4) \(- \frac32 y \) + by = 0 [/math]

e dunque

[math] \frac94y^2+y^2+3by+6y+by=0 \to 9y^2+4y^2+12by+24y+4by=0 [/math]

e quindi

[math] 13y^2+(16b+24)y=0 \to y=0 \ \ 13y+16b+24=0 [/math]

E quindi

[math] y=0 \ \ y= \frac{-16b-24}{13} [/math]

Siccome un punto di intersezione tra la retta e il fascio sara' sempre y=0, affinche' la retta sia tangente, anche l'altro punto dovra' avere y=0 (infatti i due punti dovranno essere coincidenti)

Quindi

[math]-16b-24=0 \to b= \frac32 [/math]

Sostituisci b al fascio e trovi la circonferenza cercata

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Il secondo e' piu' semplice.

Imponi che la circonferenza passi per i due punti, quindi

[math] \{(-2)^2+4^2-2a+4b+c=0 \\ (-1)^2+3^2-a+3b+c=0 [/math]

Dalla prima avrai

[math] 4+16-2a+4b+c=0 \to 20-2a+4b+c=0 \to c=2a-4b-20 [/math]

Mentre la seconda sara':

[math] 1+9-a+3b+c=0 \to 10-a+3b+c=0 \to c=a-3b-10 [/math]

Per confronto (ma puoi risolvere il sistema come preferisci)

[math] 2a-4b-20=a-3b-10 \to a-b-10=0 \to a=b+10 [/math]

E quindi risostituendo quanto trovato in una delle due equazioni di c:

[math] c=b+10-3b-10 \to c=-2b [/math]

La circonferenza sara' dunque del fascio:

[math] x^2+y^2+(b+10)x+by-2b[/math]

Troviamo le intersezioni con l'asse y (x=0)

[math] 0+y^2+by-2b=0 [/math]

Troviamo i valori di y che soddisfano l'equazione (le soluzioni)

[math] y= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4(-2b)}}{2} [/math]

Affinche' queste due soluzioi coincidano il Delta dovra' essere nullo quindi:

[math] b^2+8b=0 \to b(b+8 )=0[/math]

E quindi

[math] b=0 [/math]

e

[math] b=8 [/math]

Le circonferenze passanti per i due punti saranno due (sostituiamo b=0 e b=8 )

[math] x^2+y^2+10x=0 \\ \\ \\ x^2+y^2+18x+8b-16=0 [/math]

Se hai dubbi chiedi.

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