Problemi di geometria analitica

[diddlina]

chi mi può aiutare?grazie di cuore perchè non li so proprio fare
__________________________________________________ ___________________

In un triangolo i punti medi dei lati hanno coordinate D(1,1) E(0,-1)

F(2,0).Determinare le coordinate dei vertici del triangolo.

__________________________________________________ _______________
Dall'origine O(0,0)condurre le perpendicolari alle rette 2x-y+5=0 e

2x+y-5=0 e calcolare il perimetro e l'area del quadrilatero individuato dalle rette date e dalle perpendicolari condotte da O.è un parallelogramma?

nel sito delle superiori non mi ha potuto aiutare nessuno.vi prego qualcuno mi aiuti!

[plum]

[math]DE=\sqrt5[/math]

[math]DF=\sqrt2[/math]

[math]EF=\sqrt5[/math]

dopo aver costruito il triangolo ABC con E punto medio di AC, F punto medio di CB e D punto medio di AB, per il teorema dei punti medi (è una formula che si fa in geometria):
CE=DF; CF=ED; AD=EF.
chiami le coordinate di C(x;y) e poni CE=DF e CF=ED:

[math]CE=DF\;--->\;\sqrt{(x-0)^2+(y+1)^2}=\sqrt2[/math]

[math]\sqrt{x^2+y^2+2y+1}=\sqrt2[/math]

[math]x^2+y^2+2y+1=2[/math]

[math]x^2+y^2+2y-1=0[/math]

[math]CF=ED\;--->\;\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\sqrt5[/math]

[math]\sqrt{x^2-4x+4+y^2}=\sqrt5[/math]

[math]x^2-4x+4+y^2=5[/math]

[math]x^2+y^2-4x-1=0[/math]

metti poi a sistema le equazioni trovate:

[math]\begin{cases}x^2+y^2+2y-1=0\\x^2+y^2-4x-1=0\end{cases}[/math]

da cui trovi due possibili C:

[math]C_1(1;-2)[/math]

e

[math]C_2(-\frac15;\frac25)[/math]

dal disegno escludi C2, quindi C(1;-2)

per trovare B, o procedi analogamente oppure trovi la retta che passa per CF (y=2x-4), chiami il punto B(x;y) e metti a sistema i valori per cui BF=CF (

[math]\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\sqrt5[/math]

) e i valori per cui B appartiene alla retta CF (y=2x-4) (mi viene B(3;2))

per trovare il punto A puoi applicare sia i due metodi usati nel punto B, sia trovare l'intersezione tra la retta CE e la retta BD. (dovrebbe essere A(-1;0))

[xico87]

era più semplice...
i punti medi sono dati dalle coordinate

[math]\frac{x_1+x_2}{2}[/math]

e

[math]\frac{y_1+y_2}{2}[/math]

. a questo punto basta eguagliare queste espressioni alle coordinate dei punti medi che danno

[SuperGaara]

Secondo problema

Uno dei vertici del parallelogramma è

[math]O(0;0)[/math]

, e le rette date sono

[math]s:2x-y+5=0[/math]

e

[math]r:2x+y-5=0[/math]

.

Trovo subito un altro punto del parallelogramma, ovvero quello dato dall'intersezione tra s e r. Chiamo B questo punto:

[math]\left\{\begin{array}{c} 2x-y+5=0 \\ 2x+y-5=0 \end{array}\right.[/math]

Per riduzione ottengo:

[math]\left\{\begin{array}{c} 4x=0 \\ 2x-y+5=0 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} x=0 \\ y=5 \end{array}\right.[/math]

Quindi uno dei punto del parallelogramma è

[math]B(0;5)[/math]

.

Adesso trovo la retta t perpendicolare a s e la retta z perpendicolare a r.

[math]m_t=-\frac{1}{m_s}=-\frac{1}{2}\\m_z=-\frac{1}{m_r}=\frac{1}{2}[/math]

Quindi:

[math]t:y=-\frac{1}{2}\\z:y=\frac{1}{2}[/math]

Adesso trovo le coordinate di A appartenente all'intersezione tra la retta t e la retta s:

[math]\left\{\begin{array}{c} y=-\frac{1}{2} \\ 2x-y+5=0 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} y=-\frac{1}{2} \\ 2x+\frac{1}{2}x+5=0 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} y=-\frac{1}{2} \\ 5x=-10 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} x=-2 \\ y=1 \end{array}\right.[/math]

Adesso trovo le coordinate di C appartenente all'intersezione tra la retta z e la retta r:

[math]\left\{\begin{array}{c} y=\frac{1}{2} \\ 2x+y-5=0 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} y=\frac{1}{2} \\ 2x+\frac{1}{2}x-5=0 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} y=\frac{1}{2} \\ 5x=10 \end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c} x=2 \\ y=1 \end{array}\right.[/math]

Ricapitolando, questi sono i punti che formano il quadrilatero:

[math]O(0;0)\\A(-2;1)\\B(0;5)\\C(2;1)[/math]

Per trovare il perimetro basta fare la formula della distanza tra i punti. Otterrai:

[math]OA=CO=\sqrt{5}\\AB=BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/math]

Il perimetro è pertanto:

[math]P(ABCO)=6\sqrt{5}[/math]

L'area corrisponde alla somma delle aree dei triangoli ABO e OBC. Ma essendo ABO e OBC congruenti, si ha che l'area del quadrilatero corrisponde alla doppia area di uno dei due triangoli. Ovvero:

[math]A(ABCO)AO \times AB=\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}=10[/math]

Infine, bisogna dire se ABCO è un parallelogramma. Per farlo ti basta verificare se le diagonali AC e OB hanno lo stesso punto medio.

Applicando le formule opportune, ricavi che M punto medio di AC è

[math]M(0;1)[/math]

e N punto medio di OC è

[math]N(0;\frac{5}{2})[/math]

Siccome i punti medi delle diagonali sono diversi, allora ABCO non è un parallelogramma.

[plum]

se è un parallelogramma, i lati opposti devono essere congruenti a due a due; visto che
AB

[math]\ne[/math]

CO (e che BC

[math]\ne[/math]

OA), il quadrilatero non è un parallelgramma.
così si risparmiano un po' di conti;)

[SuperGaara]

Si certo...oppure trovi i coefficienti angolari delle due rette di una coppia di lati opposti e mostri che sono diversi: quindi le rette non sono parallele...

Insomma ci sono molti metodi, scegli tu quello che preferisci!

Chiudo il topic, ciao :hi