Problemi di geometria (70917)

[Vally_lilla]

1) in un trapezio isoscele, la base maggiore è lunga il doppio di quella minore, il lato obliquo misura 5 cm e il perimetro 28 cm. Calcola il perimetro di un trapezio simile, avente l'area di 100 cm quadrati

[strangegirl97]

Innanzitutto ci servono le lunghezze delle basi del primo trapezio (ABCD). Il perimetro, come puoi facilmente immaginare, è formato dalla somma di tutti i lati del trapezio: base maggiore, base minore, lati obliqui. Togliendo dal perimetro le misure dei lati obliqui (entrambi lunghi 5 cm, perché nel trapezio isoscele sono congruenti) otterremo quindi la somma delle basi:
AB + CD = p - AD*2 = cm 28 - 5 * 2 = cm 28 - 10 = 18 cm

Il problema ci dice che la base maggiore è il doppio della base minore. Possiamo scrivere questo rapporto sotto forma di proporzione:
AB : CD = 2 : 1

Adesso applichiamo la proprietà del comporre, secondo cui la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo. Perciò:

[math](AB + CD) : AB = (2 + 1) : 2\\
18 : AB = 3 : 2\\
AB = \frac{\no{18}^6 * 2} {\no3^1} = 6 * 2 = cm\;12[/math]

Allo stesso modo, la somma tra il primo e il secondo termine sta al secondo come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al quarto:

[math](AB + CD) : CD = (2 + 1) : 1\\
18 : CD = 3 : 1\\
CD = \frac{\no{18}^6 * 1} {\no3^1} = 6\;cm[/math]

Ora però ci tocca calcolare anche la lunghezza dell'altezza, perché nel prossimo passaggio andremo a calcolare l'area di ABCD. Tracciando l'altezza DH otteniamo un triangolo rettangolo, AHD, che ha:
- come ipotenusa il lato obliquo AD;
- come cateto maggiore l'altezza DH;
- come cateto minore la proiezione AH;

Nel trapezio isoscele le proiezioni sono congruenti: per calcolare la loro misura bisogna determinare la differenza fra le basi e dividerla per 2. Infatti la base maggiore è costituita dalle due proiezioni e da un segmento congruente alla base minore. Una volta calcolata la differenza fra le basi ci resta la somma delle due proiezioni, che va dimezzata per conoscere la misura di ognuna:

[math]AH = \frac{AB - CD} {2} = \frac{12 - 6} {2} = \frac{\no6^3} {\no2^1} = 3\;cm[/math]

Ora con Pitagora calcoliamo l'altezza:

[math]DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\;cm[/math]

Ed ora tocca all'area.

[math]A_{ABCD} = \frac{(AB + CD) * DH} {2} = \frac{(12 + 6) * 4} {2} = \frac{18 * 4}{2} = \frac{\no{72}^{36}} {\no2^1} = 36\;cm^2[/math]

I poligoni simili hanno una proprietà particolare: le loro aree sono proporzionali ai quadrati di due lati corrispondenti. In altre parole, il rapporto tra le aree dei due poligoni e i quadrati di due lati corrispondenti (per esempio, le basi maggiori) è lo stesso. Nella proporzione io ho preso in considerazione la base maggiore dei due trapezi, ma puoi scegliere anche un altro lato. ;)

[math]A_{ABCD} : A_{A'B'C'D'} = AB^2 : A'B'^2\\
36 : 100 = 12^2 : A'B'^2\\
36 : 100 = 144: A'B'^2[/math]

Ora bisogna calcolare la misura di A'B'(la base maggiore del secondo trapezio). Risolvendo la proporzione possiamo conoscere il valore del suo quadrato:

[math]A'B'^2 = \frac{100 * \no{144}^4} {\no{36}^1} = 100 * 4 = 400\;cm[/math]

Adesso dobbiamo estrarre la radice quadrata dal risultato, in modo da conoscere la misura di A'B'.

[math]A'B' = \sqrt{A'B'^2} = \sqrt{400} = 20\;cm[/math]

I poligoni simili hanno anche un'altra proprietà: i perimetri sono proporzionali a due lati corrispondenti (credo che a questo punto tu possa intuire il significato di questa frase ;) ).

[math]p_{ABCD} : p_{A'B'C'D'} = AB : A'B'\\
28 : p_{A'B'C'D'} = 12 : 20[/math]

Risolvi la proporzione ed è fatta. ;) Ciao! :hi