Problemi di geometria (45947)

[circe]

potete aiutarmi???

in un semicerchio di diametro 8r è inscritto un rettangolo la cui diagonale è radice di 43 r. determina base e altezza del rettangolo inscritto.

grazie milleee

Aggiunto 22 minuti più tardi:

il libro dice che si può impostare un'equazione di secondo grado a una sola variabile...

Aggiunto 9 minuti più tardi:

forse euclidea...

Aggiunto 56 minuti più tardi:

grazie mille!!!! :thx

[BIT5]

Sono problemi di che tipo?
Con l'incognita?
Con la trigonometria?
Con i casi limite?
Di geometria euclidea?

Aggiunto 49 minuti più tardi:

Per prima cosa considera:

Un rettangolo inscritto in una semicirconferenza ha una base che giace sul diametro;
il rettangolo e' simmetrico rispetto al raggio perpendicolare al diametro di base.
Una volta fatto il disegno, chiama (cosi' ci capiamo)

AB il diametro;
O il centro della semicirconferenza;
FG la base del rettangolo sul diametro
HI la base opposta.

Per quanto detto, dunque, porremo AF=x
e pertanto anche GB=x.

Consideriamo dunque le limitazioni di x.

x potra' avere un valore minimo pari a 0 e un valore massimo pari a 4r.

Infatti se x fosse minore di zero, avremmo una lunghezza negativa, cosa che non ha senso
Se x supera 4r allora x e' piu' lungo del raggio e pertanto si "sovrappone" al simmetrico GB...

Quindi sara'

[math] 0 \le x \le 4r [/math]

Ovviamente per x=0 e x=4r il rettangolo sara' degenere.

Considera ora il triangolo OHG (il punto H e' verticale rispetto a G)

Avrai un triangolo rettangolo di ipotenusa = 4r (e' uno dei raggi della semicirconferenza), OG=4r-x.

Per il teorema di Pitagora HG (che e' l'altezza del rettangolo) sara'

[math] \bar{HG}= \sqrt{4r^2-(4r-x)^2}= \sqrt{8rx-x^2} [/math]

Considera ora il triangolo FHG.

e' anch'esso rettangolo, l'ipotenusa e' la diagonale del rettangolo (data dal problema), la base e' 8r-2x e l'altezza l'abbiamo appena trovata.

Quindi per il teorema di pitagora dovra' essere:

[math] \( \sqrt{8rx-x^2} \)^2+(8r-2x)^2 = \( r \sqrt{43} \)^2 [/math]

E pertanto

[math] 8rx-x^2+64r^2-32rx+4x^2=43r^2 [/math]

E dunque

[math] 3x^2-24rx+21=0 \to x^2-8rx+7r^2=0 [/math]

che ha soluzioni (usando la formula ridotta)

[math] x_{1,2}= 4r \pm \sqrt{16r^2-7r^2} = 4r \pm 3r [/math]

[math] x_1= 7r [/math]

che non sta nei casi limite

[math] x_2=r [/math]

accettabile.

Pertanto la base sara' 8r-2r=6r

E l'altezza

[math] \sqrt{8r^2-r^2}= r \sqrt7 [/math]

Se hai dubbi chiedi

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Le due soluzioni che abbiamo trovato sono effettivamente complementari..

Infatti, se non avessimo le limitazioni imposte dal fatto che il rettangolo e' inscritto, avremmo trovato i due rettangoli con diagonale r radice di 43 (con base e altezza invertite)