Problemi di analitica su fasci e circonferenze

[mirk95]

Ciao a tutti... ho 2 problemi di analitica sulle circonferenze che non mi sono venuti... Il primo è questo:
Trova l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e con il centro sulla retta di equazione y=5x-8.
Considera poi i due triangoli equilateri OAB e OAC aventi un lato sul diametro OA della circonferenza. Trova le coordinate dei vertici B e C (con xb

[Ali Q]

Ciao Mirko!
Ti ho risolto la prima parte del primo problema.

1) Troviamo prima l’equazione della retta bisettrice del secondo e quarto quadrante. Essa è una retta tale per cui:
Se x=0, y=0.
Se x=1, y=-1.
Se x=-1, y=1.
Quindi la sua equazione si trova ponendo x=-y.
O più canonicamente x+y=0.

La circonferenza deve essere tangente nell’origine a questa retta.
L’equazione generica di una circonferenza è: x²+y²+ax+by+c=0.

Per x=0 e y=0 retta e circonferenza sono tangenti.
Quindi occorre mettere a sistema l’equazione della circonferenza e quella della retta, e poi imporre che il determinante dell’equazione di secondo grado che ne viene fuori sia pari a 0 (due soluzioni coincidenti, condizione di tangenza).

x²+y²+ax+by+c=0.
x+y=0

METODO DELLA SOSTITUZIONE :

Dalla seconda equazione ricavo che x=-y.
Sostituisco nella prima e ottengo:
(-y)²+y²-ay+by+c=0
2y² -ay +by +c=0
2y² +(b-a)y +c=0
Δ = (b-a)² -8c = 0
Quindi c= (b-a) ² /8 1° condizione

Y (=0 perché la tangenza avviene nell’origine) = {-(b-a) ± √ [(b-a)² -8c]/4}
Ovvero 0= (-b+a)/4
Cioè 0= (a-b)/4. 2° condizione

La circonferenza deve avere centro sulla retta y=5x-8.

Le coordinate del centro sono pari a:
xc= -a/2
yc= -b/2.

Questo punto deve appartenere alla retta.
Quindi: -b/2=5(-a/2) –8
Quindi –b/2 =-5/2 a –8
Quindi b/2 =5/2 a +8. 3° condizione

Dalla seconda condizione ricavo che a=b.
Inserisco nella terza condizione: a/2 = 5/2 a +8
-2 a =8
a=b= -4.

Sostituisco questi risultati nella prima condizione:
c= (b-a) ² /8 = (-4+4)²/8 =0
c=0.

L’equazione della circonferenza è quindi x²+y²-4x-4y =0.

Spero di non aver fatto errori di calcolo.

Aggiunto 11 minuti più tardi:

2) Per il secondo problema -non mi vorrei sbagliare- ma mi pare che tu avessi già postato un esercizio simile.
Ti riporto quello che ti scrissi a proposito di quel problema, perchè il procedimento è identico. Lo ritrovi qui, a questo indirizzo:

https://forum.skuola.net/matematica/ancora-ancora-analitica-77347.html#bottom

Ciao! Speri di esserti stata utile!