Problemi d'esame di matematica help!!!
Problema 1
In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnata la curva di equazione y=f(x), dove è: f(x)=(x al quadrato+2)/(x al cubo+2)
a) Determinare per quali valori di x questa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y
b) Trovare l'equazione della parabola passante per l'origine O degli assi e avente l'asse di simmetria parallelo all'asse y, sapendo che essa incide ortogonalmnte la curva k al punto di ascissa -1
c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza
d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all'asse x
e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all'intervallo: radice quadrata di 2 <= x <= 0.
Problema 2
Si considerino le lunghezze seguenti:
l - a+2x; a-x; 2a-x
dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.
a) Determinare per quali valori di x le lunghezze (l) si possano considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.
b) Stabilire se tra i triangoli non degeneri, i cui lati hanno le lunghezze (l), ne esiste una di area massima o minima.
c) Verificato che per x=a/4 le (l) rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo acutangolo o ottusangolo.
d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c) in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo o si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a, calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC.
Si consideri la seguente relazione, tra le variabile reali, x e y:
1/x+1/y=1/a
dove a è un parametro reale positivo.
a) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (0xy).
b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione x+y=4.
c) Scrivere l'equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1,1) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2 per "radice quadrata" di 2.
d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t.
e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k.
In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnata la curva di equazione y=f(x), dove è: f(x)=(x al quadrato+2)/(x al cubo+2)
a) Determinare per quali valori di x questa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y
b) Trovare l'equazione della parabola passante per l'origine O degli assi e avente l'asse di simmetria parallelo all'asse y, sapendo che essa incide ortogonalmnte la curva k al punto di ascissa -1
c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza
d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all'asse x
e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all'intervallo: radice quadrata di 2 <= x <= 0.
Problema 2
Si considerino le lunghezze seguenti:
l - a+2x; a-x; 2a-x
dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.
a) Determinare per quali valori di x le lunghezze (l) si possano considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.
b) Stabilire se tra i triangoli non degeneri, i cui lati hanno le lunghezze (l), ne esiste una di area massima o minima.
c) Verificato che per x=a/4 le (l) rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo acutangolo o ottusangolo.
d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c) in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo o si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a, calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC.
Si consideri la seguente relazione, tra le variabile reali, x e y:
1/x+1/y=1/a
dove a è un parametro reale positivo.
a) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (0xy).
b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione x+y=4.
c) Scrivere l'equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1,1) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2 per "radice quadrata" di 2.
d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t.
e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k.
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