Problemi derivate (266001)

[nss]

Ciao a tutti!
Chiedo gentilmente a qualcuno se potrebbe spiegare e risolvere il punto b dell'esercizio. Grazie in anticipo.

[ciampax]

Perché la funzione soddisfi le condizioni di Lagarnage, deve aversi continuità e derivabilità nell'intervallo richiesto. Ora, l'unico problema si ha in

[math]x=2[/math]

, ma è abbastanza immediato vedere che per avere continuità deve essere

[math]3=4a+2b-5[/math]

e per la derivabilità

[math]2=4a+b[/math]

, per cui risulta

[math]a=-1, b=6[/math]

.

Ora, per il punto b), puoi ricordare che una condizione che assicuri l'invertibilità su un insieme (in questo caso l'intervallo

[math](-\infty,3][/math]

dove è definita la funzione) è che essa risulti pure monotona (o crescente o decresente) su tale intervallo. Poiché la derivata della funzione con le costanti trovate diventa

[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 & x \leq 2\\
-2x+6 & 2 < x \leq 3
\end{array}\right.[/math]

è immediato verificare che sui due rami essa risulta sempre positiva (infatti

[math]2 > 0[/math]

e

[math]-2x+6 > 0[/math]

per

[math]x < 3[/math]

). Per cui la funzione è monotona crescente e quindi invertibile. Poiché nel passaggio da funzione a sua inversa si scambiano tra loro dominio e codominio, la funzione inversa

[math]f^{-1}[/math]

avrà come codominio

[math](-\infty,3][/math]

. Per il suo dominio, osserva che

[math]\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty,\qquad f(3)=4[/math]

per cui il dominio della funzione inversa risulta

[math](-\infty,4][/math]

(ricorda che la funzione è crescente strettamente, quindi in x=3 raggiunge il valore massimo assoluto).

Per determinare la funzione inversa, bisogna risolvere le equazioni

[math]f(x)=y[/math]

rispetto a

[math]x[/math]

, ricavando anche gli intervalli giusti per la

[math]y[/math]

. Andiamo con ordine:

1)

[math]2x-1=y\ \Rightarrow\ x=\frac{y+1}{2}[/math]

ed avendosi pure

[math]x\le 2[/math]

ne segue, essendo

[math]f(2)=3[/math]

che

[math]y\le 3[/math]

2)

[math]-x^2+6x-5=y\ \Rightarrow\ x^2-6x+5+y=0\ \Rightarrow\\
x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-20-4y}}{2}=3\pm\sqrt{4-y}[/math]

Inoltre deve essere ovviamente

[math]y\le 4[/math]

e

[math]y> 3[/math]

, mentre la scelta corretta della soluzione per x va fatta in modo che i valori siano sempre positivi e compresi tra 2 e 3: tale caso si presenta scegliendo il segno "-" (infatti, se scegli il segno + e usi come valore di y=3, il valore di x supera 3).

In definitiva la funzione inversa risulta la seguente

[math]f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x+1}{2} & x\le 3\\
3-\sqrt{4-x} & 3 < x \le 4
\end{array}\right.[/math]