Problemi con un limite con coseni

[tonainings]

Ho un problema con questo limite, che non sembra per niente difficile ma mi stà mettendo in difficoltà e non riesco davvero a capire il perchè.

Prima di tutto il limite si potrebbe tranquillamente risolvere con il teorema di Delhopital ma per esercitarmi con le varie proprietà trigonometriche sto cercando di risolverlo senza utilizzarlo.

$lim_(x->pi) (cosx+cos2x)/(x-pi)^2$

il risultato è $-(3/2)$

Ma vi spiego dove mi sono bloccato e quindi dove ho problemi:

Per prima cosa ho posto $y=x-pi$ perciò $lim_(x->pi) (x-pi)=0$ e quindi poichè $x=y+pi$ il limite diventa:

$lim_(y->0) [(cos(y+pi)+cos2(y+pi)]/(y)^2$

per la formula di duplicazione $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha)-sen^2(\alpha) = 1-2sen^2(\alpha) = 2cos^2(\alpha)-1$

percio sostituenda $\alpha$ con $(y-pi)$ il limite sarà:
$lim_(y->0) [(cos(y+pi)+(2cos^2(y+pi)-1)]/(y)^2$

per la formula di addizione $cos((\alpha) + (\beta)) = cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)$

$lim_(y->0) [(cos(y)cos(pi)-sen(y)sen(pi)+(2cos^2(y+pi)-1)]/(y)^2$

il $sen(pi) = 0$ mentre il $cos(pi) = 1$ quindi

$lim_(y->0) [(-cos(y)+(2cos^2(y+pi)-1)]/(y)^2$

arrivati qui poichè $2cos^2(y+pi)=2cos^2(y)$

$lim_(y->0) [(-cos(y)+(2cos^2(y)-1)]/(y)^2$

$lim_(y->0) [(cos(y)(2cos(y)-1)-1)]/(y)^2$

$lim_(y->0) [(cos(y)-1)(2cos(y)-1)]/(y)^2$

continuando così il risultato che viene fuori è $-1/2$.
Potreste spiegarmi dove ho sbagliato?

[chiaraotta1]

Se effettivamente il limite che vuoi calcolare è

"tonainings":...
$lim_(x->pi) (cosx+cos2x)/(x+pi)^2$
...

,
allora non è di forma indeterminata, ma è
$(cos(pi)+cos(2pi))/(pi+pi)^2=(-1+1)/(2pi)^2=0$ ...
Se invece si tratta di
$lim_(x->pi) (cosx+cos2x)/(x-pi)^2$,
allora, con la sostituzione
$y=x-pi$,
ottieni
$lim_(y->0) (cos(y+pi)+cos(2(y+pi)))/(y)^2=lim_(y->0) (-cos(y)+cos(2y))/(y)^2=$
$lim_(y->0) (-cos(y)+1-2sin^2(y))/(y)^2=lim_(y->0) [(1-cos(y))/(y)^2-2(sin^2(y))/(y)^2]=$
$lim_(y->0) [(1-cos^2(y))/((y)^2(1+cos(y)))-2(sin^2(y))/(y)^2]=$
$lim_(y->0) [(sin^2(y))/(y)^2*1/(1+cos(y))-2(sin^2(y))/(y)^2]=1^2*1/2-2*1^2=-3/2$,
tenendo conto del fatto che
$lim_(y->0) sin(y)/y=1$
e
$lim_(y->0) cos(y)=1$.

[tonainings]

hai ragione ho corretto subito, al denomitare c'è il -

da non credere! grazie!

che idiota, mi sono fissato con la formula di duplicazione con il coseno e invece mi bastava fermarmi con il seno.
Grazie mille!