Problemi con l'equazioni/disequazioni trigonometriche
Salve a tutti, sono iscritto ad Ingegneria Informatica a La Sapienza purtroppo avendo fatto l'istituto tecnico commerciale mi mancano alcuni argomenti che sono pre-requisiti per l'esame di Analisi Matematica...
Ho provato a studiare la Trigonometria per conto mio e alcune cose sono chiare, il problema è trovare il rispettivo angolo di una soluzione....
C'è un modo per calcolare l'angolo rapidamente????
Ad esempio ho visto che il sin(x)=1/2 ha come angolo x1=1/6 pigreco+2kpigreco e x2=5/6 pigreco+2kpigreco...
Sulla sinusoide è facile vedere l'angolo quando y è uguale a -1,0,1 per gli altri invece???
Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno a capire bene queste cose
Ho provato a studiare la Trigonometria per conto mio e alcune cose sono chiare, il problema è trovare il rispettivo angolo di una soluzione....
C'è un modo per calcolare l'angolo rapidamente????
Ad esempio ho visto che il sin(x)=1/2 ha come angolo x1=1/6 pigreco+2kpigreco e x2=5/6 pigreco+2kpigreco...
Sulla sinusoide è facile vedere l'angolo quando y è uguale a -1,0,1 per gli altri invece???
Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno a capire bene queste cose
Risposte
Beh, dipende da chi sono gli altri. Se sono valori noti, allora puoi rintracciare l'angolo con delle semplici tabelle di valori che trovi su ogni libro di trigonometria, se invece non sono valori notevoli, allora vai "sparato" con l'uso (oculato e opportuno) della funzione inversa (i.e. $arcsin, arccos, arctg$ e via discorrendo).
Ho l'impressione che se posti gli esercizi è più semplice aiutarti.
Ho l'impressione che se posti gli esercizi è più semplice aiutarti.
"WiZaRd":
Beh, dipende da chi sono gli altri. Se sono valori noti, allora puoi rintracciare l'angolo con delle semplici tabelle di valori che trovi su ogni libro di trigonometria, se invece non sono valori notevoli, allora vai "sparato" con l'uso (oculato e opportuno) della funzione inversa (i.e. $arcsin, arccos, arctg$ e via discorrendo).
Ho l'impressione che se posti gli esercizi è più semplice aiutarti.
L'esempio che ho fatto prima sin(theta)=1/2..
theta vale=1/6pi+2kpi e 5/6pi+2kpi
Come ha fatto per trovare questi angoli???
Il valore $"sin" (x) = frac{1}{2}$ è un valore notevole: è il valore che la funzione seno assume per $x=30°=frac{pi}{6}$; usando le uguaglianze che legano gli archi (o angoli) associati, si trova che $"sin"(x)="sin"(pi-x)$, sicché anche $"sin"(pi-frac{pi}{6})="sin"(frac{5}{6}pi)=frac{1}{2}$. Infine, l'aggiunta delle quantità $2kpi$ è dovuta alla periodicità della funzione seno.
"WiZaRd":
Il valore $"sin" (x) = frac{1}{2}$ è un valore notevole: è il valore che la funzione seno assume per $x=30°=frac{pi}{6}$; usando le uguaglianze che legano gli archi (o angoli) associati, si trova che $"sin"(x)="sin"(pi-x)$, sicché anche $"sin"(pi-frac{pi}{6})="sin"(frac{5}{6}pi)=frac{1}{2}$. Infine, l'aggiunta delle quantità $2kpi$ è dovuta alla periodicità della funzione seno.
Ah perfetto, quindi in questo caso dovrei saperlo perché essendo notevole lo dovrei aver studiato in qualche tabella, e se fosse un'altra misura??? Ad esempio 1/3, 2/3 cose del genere???
"snood88":
Ah perfetto, quindi in questo caso dovrei saperlo perché essendo notevole lo dovrei aver studiato in qualche tabella, e se fosse un'altra misura??? Ad esempio 1/3, 2/3 cose del genere???
Si utilizza la funzione arcoseno (funzione inversa del seno). Dal valore del seno ti restituisce il valore dell'angolo.
Sulle calcolatrici scientifiche è $"sin"^(-1)$
Fai qualche prova e vedi
All'interno del sito trovi, tra l'altro, una trattazione semplice sulla risoluzione delle equazioni trigonometriche.
I valori notevoli sono:
per le funzioni seno e coseno: $0$ ; $\pm 1$ ; $\pm 1/2$ ; $\pm sqrt(2)/2$ ; $\pm sqrt(3)/2$
per la tangente e la cotangente: $0$ ; $\pm sqrt(3)/3$ ;$\pm 1$ ; $\pm sqrt(3)$; $\pm oo$.
Quando un valore è diverso da quelli notevoli, si usa la scrittura, ad es. $arcsin(1/3)$, cioè la sunzione inversa.
per le funzioni seno e coseno: $0$ ; $\pm 1$ ; $\pm 1/2$ ; $\pm sqrt(2)/2$ ; $\pm sqrt(3)/2$
per la tangente e la cotangente: $0$ ; $\pm sqrt(3)/3$ ;$\pm 1$ ; $\pm sqrt(3)$; $\pm oo$.
Quando un valore è diverso da quelli notevoli, si usa la scrittura, ad es. $arcsin(1/3)$, cioè la sunzione inversa.
"mathrm":
I valori notevoli sono:
per le funzioni seno e coseno: $0$ ; $\pm 1$ ; $\pm 1/2$ ; $\pm sqrt(2)/2$ ; $\pm sqrt(3)/2$
per la tangente e la cotangente: $0$ ; $\pm sqrt(3)/3$ ;$\pm 1$ ; $\pm sqrt(3)$; $\pm oo$.
Quando un valore è diverso da quelli notevoli, si usa la scrittura, ad es. $arcsin(1/3)$, cioè la sunzione inversa.
Ti ringrazio per i valori notevoli....
Per le funzioni inverse devo ragionare così no: Qual'è l'arco il cui seno vale 1/3 vero? Se il ragionamento è giusto??? Io so che l'arcoseno ha come dominio -1, 1 e come codominio -pi/2, pi/2...
Però 1/3 non è valore noto... quindi??
Perché ho visto il pdf, c'è l'esempio lampante che sin(x)=m bisogna fare l'arcoseno di m ma se m non è notevole??? E' questo il problema che m'affligge... Poi dipende anche dal fatto se potrò all'esame portare le tabelle di trigonometria con gli angoli notevoli
"snood88":
Perché ho visto il pdf, c'è l'esempio lampante che sin(x)=m bisogna fare l'arcoseno di m ma se m non è notevole??? E' questo il problema che m'affligge...
Quando non è un valore noto lasci scritto semplicemente $arcsinm$ o se proprio vuoi ti calcoli il valore preciso con la calcolatrice
"leena":
[quote="snood88"]Perché ho visto il pdf, c'è l'esempio lampante che sin(x)=m bisogna fare l'arcoseno di m ma se m non è notevole??? E' questo il problema che m'affligge...
Quando non è un valore noto lasci scritto semplicemente $arcsinm$ o se proprio vuoi ti calcoli il valore preciso con la calcolatrice[/quote]
Ah perfetto, comunque la calcolatrice non può essere utilizzata.
"snood88":
Ah perfetto, comunque la calcolatrice non può essere utilizzata.
E allora lascia semplicemente $arcsinm$, non è un errore, nè l'esercizio non è completato. $arcsinm$ è un valore ben preciso.
"leena":
[quote="snood88"]Ah perfetto, comunque la calcolatrice non può essere utilizzata.
E allora lascia semplicemente $arcsinm$, non è un errore, nè l'esercizio non è completato. $arcsinm$ è un valore ben preciso.[/quote]
Grazie Mille, sto facendo un esercizio sui numeri complessi e ho trovato una tabella veramente utile, speriamo si possa usare agli esami..
In bocca al lupo allora 
Stavo provando a fare un esercizio su un equazione trigonometrica
Risolveldola con la formula risolutiva mi viene $sin(theta)=-1/2$ il risultato è $theta_1=-1/6pi+2kpi$ e $theta_2=7/6pi+2kpi$
Perché sono proprio questi i risultati cioè seno dell'angolo -30 e seno dell'angolo 210???? Non potrebbero essere invece $7/6pi+2kpi$ e $11/6pi+2kpi$ ovvero i seni degli angoli rispettivamente 210 e 330??
Non può essere così perché se trovato un angolo 210 provo a trovare il secondo con la differenza ovvero 360-210 non mi ritorna quel valore???
Quindi concludendo per trovare gli angoli esatti devo sempre fare le differenze per vedere quelli giusti???
Risolveldola con la formula risolutiva mi viene $sin(theta)=-1/2$ il risultato è $theta_1=-1/6pi+2kpi$ e $theta_2=7/6pi+2kpi$
Perché sono proprio questi i risultati cioè seno dell'angolo -30 e seno dell'angolo 210???? Non potrebbero essere invece $7/6pi+2kpi$ e $11/6pi+2kpi$ ovvero i seni degli angoli rispettivamente 210 e 330??
Non può essere così perché se trovato un angolo 210 provo a trovare il secondo con la differenza ovvero 360-210 non mi ritorna quel valore???
Quindi concludendo per trovare gli angoli esatti devo sempre fare le differenze per vedere quelli giusti???
Ti ho aggiunto un po' di dollari per riuscire a leggere meglio il tuo messaggio.
certo che sì, $-1/6pi+2pi=11/6pi$, l'angolo è lo stesso, solo il giro successivo.
Non ho capito, invece, il resto del tuo ragionamento.
"snood88":
il risultato è $theta_1=-1/6pi+2kpi$ e $theta_2=7/6pi+2kpi$... cut...
Non potrebbero essere invece $7/6pi+2kpi$ e $11/6pi+2kpi$ ovvero i seni degli angoli rispettivamente 210 e 330??
certo che sì, $-1/6pi+2pi=11/6pi$, l'angolo è lo stesso, solo il giro successivo.
Non ho capito, invece, il resto del tuo ragionamento.
"snood88":Ne sei certo? Di solito nelle scuole pubbliche è permesso, purché non programmabile: sarebbe un peccato rinunciare inutilmente al suo aiuto.
... comunque la calcolatrice non può essere utilizzata.
Può essere, neanche io la lascio usare nel primo compito perché ho bisogno che abbiano le idee chiare sulle funzioni inverse e mi interessa quindi solo che sappiano individuare la tecnica e non rispondano con dei numeri a caso. Poi, quando sanno riconoscere le funzioni goniometriche inverse, allora il discorso cambia.
"@melia":
Ti ho aggiunto un po' di dollari per riuscire a leggere meglio il tuo messaggio.
[quote="snood88"] il risultato è $theta_1=-1/6pi+2kpi$ e $theta_2=7/6pi+2kpi$... cut...
Non potrebbero essere invece $7/6pi+2kpi$ e $11/6pi+2kpi$ ovvero i seni degli angoli rispettivamente 210 e 330??
certo che sì, $-1/6pi+2pi=11/6pi$, l'angolo è lo stesso, solo il giro successivo.
Non ho capito, invece, il resto del tuo ragionamento.[/quote]
Rimangio quello che ho detto in conclusione al post precedente...
Se mi dici che come risultato va bene anche questo $7/6pi+2kpi$ e $11/6pi+2kpi$ nessun prob.
Va benissimo.
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