Problemi con insiemi numerici
Buongiorno, ho questo problema:
Sia S il seguente insieme di numeri reali, unione di due intervalli , $S=(-2,-1)V(0,1/2]$
Determinare gli estremi, superiore e inferiore dei seguenti insiemi numerici
$A={2^(x/y)}$ tale che $x,y$ è appaartenente a $S$
$B={sen(x+y)}$ tali che $x,y$ è appartente a $S$.
Per ognuno degli estremi superiori (rispettivamente inferiori) stabilire anchese esso è massimo (rispettivamente minimo) del relativo insieme numerico
RAGIONAEMENTO
A) disegno il grafico dell'esponenziale(come quello di $e^x$)....cancello le parti che stanno al di fuori dell'insieme numerico....quindi tengo solo le parti dettate da $S$. quando $f(1/2)=2^(1/2)$ secondo me è estremo superiore e anche massimo perchè cè la parentesi quadra che include il valore...mentre se guardo l'estremo minimo che darebbe $F(-2)=2^(-2)$ è estremo inferiore ma non è un minimo in virtu della parentesi tonda....
B)disegno $f(x)=senx$ ....il suo estremo e massimo è $1$ quindi $f(x)=sen(1/2)$ non è un estremo superiore.
invece $f(x)=sen(-2)$ non so quanto vale a ogno modo non è ne estremo ne massimo perchè l'estremo inferiore sarebbe $-1$ e non è neppure minimo perchhè non è incluso in $S$.
Vorrei sapere se un eserczio cosi risolto puo andare bene.....poi pero dato che non ho mezzi su cui studiare dato che non ho proprio quest'argomento nel libro, vorrei che spiegaste un po come devo ragionare nel caso non andasse bene quel che ho scritto....mi potreste dare qualche eserciizio simile per favore?io proprio non ho nessun libro che ripoorta questa tipologia di esrcizi.
Grazie
Cordiali saluti
Sia S il seguente insieme di numeri reali, unione di due intervalli , $S=(-2,-1)V(0,1/2]$
Determinare gli estremi, superiore e inferiore dei seguenti insiemi numerici
$A={2^(x/y)}$ tale che $x,y$ è appaartenente a $S$
$B={sen(x+y)}$ tali che $x,y$ è appartente a $S$.
Per ognuno degli estremi superiori (rispettivamente inferiori) stabilire anchese esso è massimo (rispettivamente minimo) del relativo insieme numerico
RAGIONAEMENTO
A) disegno il grafico dell'esponenziale(come quello di $e^x$)....cancello le parti che stanno al di fuori dell'insieme numerico....quindi tengo solo le parti dettate da $S$. quando $f(1/2)=2^(1/2)$ secondo me è estremo superiore e anche massimo perchè cè la parentesi quadra che include il valore...mentre se guardo l'estremo minimo che darebbe $F(-2)=2^(-2)$ è estremo inferiore ma non è un minimo in virtu della parentesi tonda....
B)disegno $f(x)=senx$ ....il suo estremo e massimo è $1$ quindi $f(x)=sen(1/2)$ non è un estremo superiore.
invece $f(x)=sen(-2)$ non so quanto vale a ogno modo non è ne estremo ne massimo perchè l'estremo inferiore sarebbe $-1$ e non è neppure minimo perchhè non è incluso in $S$.
Vorrei sapere se un eserczio cosi risolto puo andare bene.....poi pero dato che non ho mezzi su cui studiare dato che non ho proprio quest'argomento nel libro, vorrei che spiegaste un po come devo ragionare nel caso non andasse bene quel che ho scritto....mi potreste dare qualche eserciizio simile per favore?io proprio non ho nessun libro che ripoorta questa tipologia di esrcizi.
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
Attento perché mi pare che stai prendendo $S$ come dominio di quelle funzioni ma non è così, tutt'altro ...
Le tue funzioni sono queste $f(z)=2^z$ dove $z=x/y$ con $x,y in S$ e $g(w)=sin(w)$ dove $w=x+y$ con $x,y in S$.
Non ho idea se esistano metodi standard da per la risoluzione di questo tipo di esercizi ma quello che farei sarebbe trovare l'insieme che definisce $z$ e qullo che definisce $w$.
Per esempio, partendo da $w$ (che è più facile, almeno per me ...
), trovo che il dominio di $f(w)$ è $-4
)
Da qui prosegui per trovare gli estremi e max/min.
Cordialmente, Alex
Le tue funzioni sono queste $f(z)=2^z$ dove $z=x/y$ con $x,y in S$ e $g(w)=sin(w)$ dove $w=x+y$ con $x,y in S$.
Non ho idea se esistano metodi standard da per la risoluzione di questo tipo di esercizi ma quello che farei sarebbe trovare l'insieme che definisce $z$ e qullo che definisce $w$.
Per esempio, partendo da $w$ (che è più facile, almeno per me ...
), trovo che il dominio di $f(w)$ è $-4 )Da qui prosegui per trovare gli estremi e max/min.
Cordialmente, Alex
scusa ma il dominio di $senx$ non è $(-oo;+oo)$?...bo scusa se sono un po intontito ma oltre a essere cosi come sono, il punto è che qua non cè niente da studiare, ho finito i libri.
tu hai trovato l insieme di definizione di $f(w)$ ....allora $g(w)=sen(w)$ che ha insieme di definizione $(-oo;+oo)$, mentre $f(z)=2^z$ che ha insieme di definizione $(-oo;+oo)$ pero non ho capito il passaggio di ragionamento che hai fatto dopo....
tu hai trovato l insieme di definizione di $f(w)$ ....allora $g(w)=sen(w)$ che ha insieme di definizione $(-oo;+oo)$, mentre $f(z)=2^z$ che ha insieme di definizione $(-oo;+oo)$ pero non ho capito il passaggio di ragionamento che hai fatto dopo....
"ramarro":
tu hai trovato l insieme di definizione di $f(w)$ ....allora $g(w)=sen(w)$ che ha insieme di definizione $(-oo;+oo)$,
Mica vero ... dipende ... ci si dimentica sempre che per definire una funzione non basta conoscere la regola che associa un elemento del dominio ad un elemento del codominio, ma occorre definire il dominio stesso A PRIORI; ci siamo talmente abituati a dar per scontato che il C.E. sia uguale al dominio che li confondiamo ma il C.E. è solo (si fa per dire) il dominio più grande che la funzione può avere perché abbia senso; cioè la funzione $sin(x)$ può aver come dominio sia $(-infty,+infty)$ che $(1/23, 1/2)$, dipende dal singolo caso.
Ora, tornando al punto, la funzione $g(x,y)=sin(x+y)$ così come l'hai scritta è una funzione in due variabili quindi come puoi rappresentarla in un piano? Come puoi rappresentare il suo dominio su un asse solo?
Quello che ho fatto è stato porre $x+y=w$ per cui la mia funzione diventa $g(w)=sin(w)$ e ricavarmi il dominio di questa partendo dal dominio di quella. Al variare di $x$ e $y$ nel loro insieme di definizione ($S$) ho ricostruito come varia $w$
Cordialmente, Alex
si ma scusa, ti dico la verita, io stavolta non riesco neanche a seguirti perchè non ho neanche niente da studiare....
io ho capito che hai sostituito le due variabili con una sola, per semplificare
hai
$f(z)=2^z$ ma non sai quanto è e $g(w)=sen(w)$ ma non si sa quanto vale neanche questa....io ho capito solo fino a questro punto, il passaggio dopo, quale sarebbe, forse quello di ricavare il dominio?
se si, come fai a trovarlo? sostituisci i numeri di $S$ dentro rispettivamente a $z$ e a $w$....scusa cmq per il disturbo. Ciao
io ho capito che hai sostituito le due variabili con una sola, per semplificare
hai
$f(z)=2^z$ ma non sai quanto è e $g(w)=sen(w)$ ma non si sa quanto vale neanche questa....io ho capito solo fino a questro punto, il passaggio dopo, quale sarebbe, forse quello di ricavare il dominio?
se si, come fai a trovarlo? sostituisci i numeri di $S$ dentro rispettivamente a $z$ e a $w$....scusa cmq per il disturbo. Ciao
Allora ... è più lunga da spiegare che da fare ...
Pongo $w=x+y$ e so che sia $x$ che $y$ possono assumere tutti i valori di $S$ (l'una indipendentemente dall'altra).
Per semplicità studiamo solo il caso che $S$ sia costituito dall'intervallo $S_a=(-2,-1)$.
Fisso $x$ uguale ad un estremo e cioè $x=-2$, se adesso passo a sommargli tutti i valori che $y$ può assumere in $S_a$ avrò che $w$ varierà da $w=-4=-2-2$ a $w=-3=-2-1$. Ho trovato un primo intervallo di valori per $w$. Ma è solo l'inizio ...
Adesso se faccio variare $x$, mi accorgo che l'intervallo di valori di $w$ si "sposta" (p.es. $x=7/4$ allora $-15/4
Cordialmente, Alex
P.S.: la difficoltà di questi esercizi non sta tanto nel trovare estremi sup/inf, max/min, ma nel trovare il dominio "giusto".
Pongo $w=x+y$ e so che sia $x$ che $y$ possono assumere tutti i valori di $S$ (l'una indipendentemente dall'altra).
Per semplicità studiamo solo il caso che $S$ sia costituito dall'intervallo $S_a=(-2,-1)$.
Fisso $x$ uguale ad un estremo e cioè $x=-2$, se adesso passo a sommargli tutti i valori che $y$ può assumere in $S_a$ avrò che $w$ varierà da $w=-4=-2-2$ a $w=-3=-2-1$. Ho trovato un primo intervallo di valori per $w$. Ma è solo l'inizio ...
Adesso se faccio variare $x$, mi accorgo che l'intervallo di valori di $w$ si "sposta" (p.es. $x=7/4$ allora $-15/4
Cordialmente, Alex
P.S.: la difficoltà di questi esercizi non sta tanto nel trovare estremi sup/inf, max/min, ma nel trovare il dominio "giusto".
ok allora facciamo che $Sa$ è l'intervallo di sinistra(come dicevi tu prima), $Sb$ quello di destra, $Sa,b$ è quello che prende l'estremo a sinistra e ci somma i numeri di $Sb$, mentre $Sb,a$ è quello che prende l'estremo di destra e ci somma i numeri di $Sa$.....
$Sa=-2-2=-4$
$Sa=-2-1=-3$
------------------
$Sb=1/2+0=1/2$
$Sb=1/2+1/2=1$
------------------
$Sa,b=-2+0=-2$
$Sa,b=-2-1/2=-3/2$
-------------------
$Sb,a=1/2-2=-3/2$
$=1/2-1=-1/2$
--------------------
questo per quanto concerne le variabili $x+y$.....da quel che ho capito, però poi devo analizzare la variablie $z$ composta da $x/y$ quindi anche li dovro fare $Sa$,$Sb$,$Sa,b$,$Sb,a$....e fare la frazione
ecco dimmi se fin qui va bene, poi pero non so ancora che cosa ci devo fare con questi numeri.....ora sto cercando di mettere un po di 'metodo' per imparare ste cose, insomma cerco di scrivermelo da solo il metodo, dato che orami le altre armi sono spuntate....Grazie nel frattempo ci sentiamo
$Sa=-2-2=-4$
$Sa=-2-1=-3$
------------------
$Sb=1/2+0=1/2$
$Sb=1/2+1/2=1$
------------------
$Sa,b=-2+0=-2$
$Sa,b=-2-1/2=-3/2$
-------------------
$Sb,a=1/2-2=-3/2$
$=1/2-1=-1/2$
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questo per quanto concerne le variabili $x+y$.....da quel che ho capito, però poi devo analizzare la variablie $z$ composta da $x/y$ quindi anche li dovro fare $Sa$,$Sb$,$Sa,b$,$Sb,a$....e fare la frazione
ecco dimmi se fin qui va bene, poi pero non so ancora che cosa ci devo fare con questi numeri.....ora sto cercando di mettere un po di 'metodo' per imparare ste cose, insomma cerco di scrivermelo da solo il metodo, dato che orami le altre armi sono spuntate....Grazie nel frattempo ci sentiamo
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