Problemi con dimostrazioni geometria

[user-382]

1)Dai vertici B e D del quadrato ABCD traccia una coppia di rette r e s tra loro parallele e senza altri punti in comune con il quadrato. Dai vertici A e C conduci le perpendicolari a r e a s , dimostra che i punti di intersezione tra le quattro rette sono i vertici di un altro quadrato.

2)Costruisci, internamente al quadrato ABCD, il triangolo equilatero BCP e determina gli angoli dei quattro triangoli che si ottengono dal quadrato congiungendo P con i quattro vertici del quadrato

3)Dal punto d’incontro V delle diagonali del parallelogramma ABCD, conduci la perpendicolare a BD che interseca il lato BC(o un suo prolungamento) in E e il lato DA (o un suo prolungamento) in F. Dimostra che DFBE è un rombo.

mi potreste aiutare? vi pregoo
Grazie

[anna.supermath]

quadrati

Facendo riferimento alla figura allegata (quadrato in grassetto), considera i quattro triangoli rettangoli che hanno per ipotenusa i lati del quadrato di partenza ABCD.
Per questi quattro triangoli rettangoli si ha che:
AB = BC = CD = DA
Ossia le loro ipotenuse sono uguali perché lati del quadrato ABCD.
Indichiamo con \alpha l’angolo in B che ti ho evidenziato in rosso:
l’angolo in A dello stesso triangolo rettangolo è pari a

[math]
90 - \alpha.
[/math]

I restanti triangoli rettangoli, per differenza , hanno gli angoli acuti pari a

[math]
90 - \alpha ed \alpha:
[/math]

quindi hanno tutti un lato uguale (l’ipotenusa) e gli angoli che lo comprendo

[math]
(\alpha e 90 - \alpha)
[/math]

uguali.
Se ne conclude che sono tutti uguali per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.
Adesso facciamo riferimento al quadrilatero costituito dalle rette r ed s (parallele) e dalle rette t e v a queste perpendicolari:
gli angoli che formano, ovviamente sono tutti retti ed i lati sono uguali fra loro in quanto somma di segmenti uguali (i segmenti che formano i lati sono i cateti dei triangoli rettangoli di cui abbiamo dimostrato la congruenza precedentemente).


Aggiunto 19 minuti più tardi:

Equilatero

Facendo riferimento alla figura allegata si ha che gli angoli del triangolo equilatero sono ciascuno di 60 gradi:

[math]
PBC = BCP = CPB = 60
[/math]

Triangoli ABP e DPC
Gli angoli ABP e DCP sono entrambi di 30 gradi, in quanto si ottengono per differenza fra l’angolo retto e i due angoli alla base del triangolo equilatero. Tali triangoli sono anche isosceli poiché i lati AB = BP = PC = CD (per cui questi due triangoli sono anche congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli):
gli angoli BAP, APB, CPD e PDC sono tutti uguali e pari a:

[math]
\frac{180 - 30}{2} = 75
[/math]

gradi.
Triangolo ADP
Tale triangolo è isoscele sulla base AD in quanto i triangoli ABP e DPC sono congruenti per il primo criterio di congruenza, per cui AP = PD.
Quindi si ha che l’angolo al vertice APD si ottiene per differenza:

[math]
APD = 360 - 60 - 2\cdot (75) = 150
[/math]

gradi
Gli angoli alla base PAD e PDA si ottengono come:

[math]
PAD = PDA = \frac{180 - 150}{2} = 15
[/math]

gradi.
Se hai dubbi chiedi pure.

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Rombo

Facendo riferimento alla figura allegata (in alto in grassetto rombo), considera i triangoli rettangoli DVE e EVB: sono uguali per il primo criterio di congruenza dei rettangoli in quanto
DV = VB (le diagonali del parallelogramma si intersecano nel punto di mezzo di ciascuna)
VE risulta in comune
DVE = BVE = 90 gradi
Se ne conclude che DE = BE
Un ragionamento analogo si applica a triangoli rettangoli DVF e BVF:
DV = VB (le diagonali del parallelogramma si intersecano nel punto di mezzo di ciascuna)
FV risulta in comune
DVF = BVF = 90 gradi
Se ne conclude che
DF = BF.
Ora si considerino i triangoli rettangoli DVF e BVE
Sono uguali per il secondo criterio di congruenza dei triangoli:
DV = VB
L’angolo in V risulta retto
Gli angoli FDV e EBV sono uguali in quanto alterni interni delle rette parallele contenenti i lati del parallelogramma, AD e BC, tagliate dalla diagonale BD.
Conseguentemente FD = BE.

Se ne conclude per la prop. Transitiva che
FD = BE = DE = FB.
Quindi il quadrilatero FBED ha le diagonali, FE e BD, perpendicolari e tutti i lati uguali, per cui risulta essere un rombo.