Problemi circonferenza

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi non riesco a risolvere questi 2 problemi di geometria riguardanti la circonferenza.
1) in una circonferenza due corde, AF e GD, sono perpendicolari e si intersecano nel punto B. Da B traccia la retta r perpendicolare a FD che interseca la corda AG in C. Dimostra che AC è uguale a BC.
2) Due circonferenze di cendri C e D si intersecano nei punti A e B. Nella prima circonferenza traccia il diametro AE e nella seconda il diametro AF. Dimostra che B appartiene al segmento EF e che CD= 1/2EF.
Qualcuno può darmi una mano?

[Quinzio]

Per il primo, una soluzione e' questa che segue.

Chiamiamo intanto $H$ l’intersezione di $r$ con $FD$.

Se $AC = BC$, $ABC$ e' isoscele, quindi $\hat{BAC} = \hat{BCA}$.

Ma anche $\hat{BAC} = \hat{BCA} = \hat{FBH}$.

Poi... $\hat{HDB} = 90 - \hat{DBH} = 90 - (90 - \hat{FBH}) = \hat{FBH}$

Da questo segue facilmente che $\hat{BAC} = \hat{HDB}$ e quindi $\hat{GAF} = \hat{GDF}$.

Scriviamo le coordinate dei punti $A, G, F, D$, dove, in modo "grafico", $AG$ e' orizzontale, e $FD$ verticale.

Impostiamo poi gli assi coordinati con origine nel centro del cerchio.

A questo punto, se, ad es., $y_A$ e' l'ordinata del punto $A$:

$y_A = y_F = y$

$- x_A = x_F = \sqrt(1-y^2)$

$x_G = x_D = x$

$- y_D = y_G = \sqrt(1-x^2)$

Abbiamo stabilito prima che $\hat{GAF} = \hat{GDF}$, e allora deve essere:

$(y_G - y_A)/(x_G - x_A) = (x_F - x_D)/(y_F - y_D)$

Verifichiamo facendo le sostituzioni:

$(\sqrt(1-x^2)- y)/(x - \sqrt(1-y^2)) = (\sqrt(1-y^2) - x ) / (y + \sqrt(1-x^2) )$

$(\sqrt(1-x^2)- y)(y + \sqrt(1-x^2) ) = (\sqrt(1-y^2) - x )(x - \sqrt(1-y^2))$

$1-x^2-y^2 = 1-x^2-y^2$

[@melia]

"Drenthe24":
1) in una circonferenza due corde, AF e GD, sono perpendicolari e si intersecano nel punto B. Da B traccia la retta r perpendicolare a FD che interseca la corda AG in C. Dimostra che AC è uguale a BC.

Indica con H il punto di intersezione di BC con FD.
Gli angoli GAF e GDF sono congruenti perché insistono sullo stesso arco GF.
Gli angoli BDH e HBF sono congruenti perché BH è l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo BFD e quindi sono entrambi complementari di BFD.
Gli angoli ABC e HBF sono congruenti perché opposti al vertice
Segue che il triangolo ACB ha gli angoli in A e in B congruenti, quindi è un triangolo isoscele su base AB e AC è congruente a BC

[@melia]

"Drenthe24":
2) Due circonferenze di cendri C e D si intersecano nei punti A e B. Nella prima circonferenza traccia il diametro AE e nella seconda il diametro AF. Dimostra che B appartiene al segmento EF e che CD= 1/2EF.

AEB è un triangolo rettangolo perché insiste su una semicirconferenza, così pure ABF.
Ne segue che il segmento EF è perpendicolare ad AB e passa per B. Anche la congiungente i centri delle due circonferenze è perpendicolare ad AB, quindi CD ed EF sono paralleli, con C che è punto medio di AE e D punto medio di AF.
Ne segue, per il teorema della congiungente i punti medi o per le similitudini tra triangoli che $CD=1/2 EF$