Problema:prodotto massimo
Salve,scusate se è il 2 messaggio in poco meno di 24,ma sono di nuovo alle prese con questi problemi di massimo e minimo, che purtroppo non riesco proprio a capire 
.
Nel caso in cui le radici $x_1$ e $x_2$ dell'equazione:
$(m-1)x^2-2(m-1)x+3m-1=0 (m!=1)$
Siano reali e positive,determinare per quale valore di m il prodotto $x_1*x_2$ è massimo.
Come potrei iniziare e continuare?
.Nel caso in cui le radici $x_1$ e $x_2$ dell'equazione:
$(m-1)x^2-2(m-1)x+3m-1=0 (m!=1)$
Siano reali e positive,determinare per quale valore di m il prodotto $x_1*x_2$ è massimo.
Come potrei iniziare e continuare?
Risposte
Non saprei... prova a scrivere come otteresti le due radici, imponi che il delta sia maggiore di 0, e poi vedi che succede a moltiplicarle... se ti salta fuori una funzione di m, prova a vedere se si può trovare un massimo tenendo conto delle condizioni imposte.
Non conosco le derivate quindi lo faccio sfruttando la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.
Chiamo \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) le due radici, la loro somma vale \(\displaystyle \frac{-b}{a}=\frac{2(m-1)}{m-1}=2 \), il prodotto è invece: \(\displaystyle \frac{3m-1}{m-1} \). Adesso siccome \(\displaystyle \alpha+\beta=2 \), il prodotto \(\displaystyle \alpha\beta \) è massimo quando vale il segno di uguaglianza in AM-GM, ovvero \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\geq \sqrt{\alpha\beta} \Rightarrow \alpha\beta=1 \), quindi quando \(\displaystyle \alpha=\beta \Rightarrow m=0\).
Chiamo \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) le due radici, la loro somma vale \(\displaystyle \frac{-b}{a}=\frac{2(m-1)}{m-1}=2 \), il prodotto è invece: \(\displaystyle \frac{3m-1}{m-1} \). Adesso siccome \(\displaystyle \alpha+\beta=2 \), il prodotto \(\displaystyle \alpha\beta \) è massimo quando vale il segno di uguaglianza in AM-GM, ovvero \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\geq \sqrt{\alpha\beta} \Rightarrow \alpha\beta=1 \), quindi quando \(\displaystyle \alpha=\beta \Rightarrow m=0\).
"giannirecanati":
Non conosco le derivate quindi lo faccio sfruttando la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.
Chiamo \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) le due radici, la loro somma vale \(\displaystyle \frac{-b}{a}=\frac{2(m-1)}{m-1}=2 \), il prodotto è invece: \(\displaystyle \frac{3m-1}{m-1} \). Adesso siccome \(\displaystyle \alpha+\beta=2 \), il prodotto \(\displaystyle \alpha\beta \) è massimo quando vale il segno di uguaglianza in AM-GM, ovvero \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\geq \sqrt{\alpha\beta} \Rightarrow \alpha\beta=1 \), quindi quando \(\displaystyle \alpha=\beta \Rightarrow m=0\).
Mi dispiace,ma non conosco il procedimento,che hai utilizzato...
"gio73":
Non saprei... prova a scrivere come otteresti le due radici, imponi che il delta sia maggiore di 0, e poi vedi che succede a moltiplicarle... se ti salta fuori una funzione di m, prova a vedere se si può trovare un massimo tenendo conto delle condizioni imposte.
$x=((m-1)+-sqrt((m-1)^2-(m-1)(3m-1)))/((m-1))$
E adesso come posso procedere?
Ricordati di imporre le condizioni inziali: m diverso da 1, e il delta maggiore di 0, poi le soluzioni sono 2, una con il segno + davanti alla radice, l'altra con il segno -, scrivile separate e poi moltiplicale, lo faccio anch'io, ma non scrivo i passaggi al computer perchè mi fa troppa fatica, poi vediamo dove siamo arrivati.
Ok fatto:
Soluzioni reali e positive: $x€]0,1[$
Prodotto delle due soluzioni:
$(3m^2-4m+1)/(m-1)^2$
Giusto?Come procedo?
Soluzioni reali e positive: $x€]0,1[$
Prodotto delle due soluzioni:
$(3m^2-4m+1)/(m-1)^2$
Giusto?Come procedo?
Ciao Shintek, ascolta: se ho due numeri \(\displaystyle a+b=2 \), quando si ha il massimo prodotto \(\displaystyle ab \)? Non ti resta che dimostrare che il prodotto è massimo quando \(\displaystyle a=b \). E' lo stesso problema.
"giannirecanati":
Ciao Shintek, ascolta: se ho due numeri \(\displaystyle a+b=2 \), quando si ha il massimo prodotto \(\displaystyle ab \)? Non ti resta che dimostrare che il prodotto è massimo quando \(\displaystyle a=b \). E' lo stesso problema.
Purtroppo il problema è un altro:la mia professoressa non 'vuole' che li faccia cosi,o meglio non li abbiamo mai fatti cosi,ma tramite le derivate...
Come ti è stato già detto il prodotto delle radici è:
\(\displaystyle f(m)=x_1\cdot x_2=\frac{3m-1}{m-1} ,0\leq m <1 \)
Derivando rispetto ad m hai:
\(\displaystyle f'(m)=-\frac{2}{(m-1)^2} \)
Come vedi la derivata è sempre negativa nell'intervallo che interessa.Ciò significa che la f(m),che rappresenta
il prodotto, è sempre decrescente in quell'intervallo e quindi prende il suo valore massimo all'inizio dell'intervallo
medesimo.Ovvero per m=0.Come aveva già previsto GianniRecanati.
\(\displaystyle f(m)=x_1\cdot x_2=\frac{3m-1}{m-1} ,0\leq m <1 \)
Derivando rispetto ad m hai:
\(\displaystyle f'(m)=-\frac{2}{(m-1)^2} \)
Come vedi la derivata è sempre negativa nell'intervallo che interessa.Ciò significa che la f(m),che rappresenta
il prodotto, è sempre decrescente in quell'intervallo e quindi prende il suo valore massimo all'inizio dell'intervallo
medesimo.Ovvero per m=0.Come aveva già previsto GianniRecanati.
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