Problema2

[clarkk]

E' dato il triangolo ABC di cui si conosce BAC=90 e ABC=30: si descriva la semicirconferenza avente per diametro l'ipotenusa BC ed esterna al triangolo. Determinare sulla semicirconferenza un punto P tale che la somma delle sue distanze dalle rette dei due cateti del triangolo sia in rapporto ($sqrt(3)$ +1) con la sua distanza dall'ipotenusa.
Non so da dove iniziare...ho provato a considerare il triangolo e cercare di determinare i lati, ma non ne vedo l'utilità..al assimo troverei la distanza dal punto P all'ipotenusa...le altre due distanze però non ne ho idea

[Sk_Anonymous]

Ti conviene tracciare un circonferenza, il suo diametro BC, su una delle due semicirconferenze in cui viene divisa fissi il punto A in modo che l'angolo ABC misuri 30°, sull'altra fissi un generico punto P. Ho indicato con $x=hat(PBC)$, con $0 Trovi immediatamente la lunghezza di PB e PC e perciò anche quella delle distanze di P da AB e da BC.....
alla fine viene un'equazione omogenea, con unica soluzione accettabile x=22° 30'

[clarkk]

non ho capito come faccio a trovare PB e PC...anche se do come x quell'angolo, non ho nessun lato...poi il risultato che da il libro dovrebbe venire PCB=60° v 45°

[ori90-votailprof]

Ipotesi
$ABC$ Triangolo rettangolo
$bar(BC)=2r
$AhatBC = 30°
$ (bar(VP) + bar(KP))/(bar(QP)) = sqrt3+1

Pongo $PBC=x$ -----> Limitazioni : $0°
Il triangolo $PBC$ è rettangolo,in quanto è inscritto in una semicirconferenza ---> $PCB=90°-x$

$BP = BCsenhatC = 2rsen(90°-x) = 2rcosx
$CP = 2rsenx

Ora considero il triangolo rettangolo $PBV$ ---> $VP = BPsen(30°+x) = 2rcosxsen(30°+x)$

Ora considero il triangolo rettangolo $PCK$ ---> $hatC=180°-[60°+(90°-x)] = 30°-x
$KP = CPsen(30°-x) = 2rsenxsen(150°-x)

Considero il triangolo rettangolo $PQC$ ---> $PQ = PCsen(90°-x) = 2rsenxcosx$

Sostituisco nella relazione iniziale :

$(2rcosxsen(30°+x) + 2rsenxsen(150°-x) )/(2rsenxcosx)=sqrt3 +1

Dopo vari passaggi : $tgx=1 ; tgx =sqrt3/3 => x=45° , x=60°

[clarkk]

Grazie!