Problema urgente: equazione della circonferenza
1. Scrivere l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla retta 3x-y=0 e passante per P (0; -53/15).
2. Scrivere l'equazione della circonferenza avente per tangente nell'origine la bisettrice del secondo e quarto quadrante e tangente alla retta x=2y-5
P.S. = non voglio che mi svolgete gli esercizi....Desidero solo sapere la spiegazione e quali passaggi fare...
2. Scrivere l'equazione della circonferenza avente per tangente nell'origine la bisettrice del secondo e quarto quadrante e tangente alla retta x=2y-5
P.S. = non voglio che mi svolgete gli esercizi....Desidero solo sapere la spiegazione e quali passaggi fare...
Risposte
allora, vediamo se riesco a usare la formattazione per le formule...
innanzitutto, quello che sai è:
1) la formula generica della circonferenza, ossia: $x^2+y^2+ax+by+c=0$
2) che la formula generica deve essere soddisfatta per i punti O(0;0) e P(0;-53/15)
3) che in O la circonferenza è tangente a $y=3x$
tutte queste 3 condizioni devono essere soddisfatte... poichè non vuoi la risoluzione passo per passo non te la darò, ma ti dico i vari passaggi che dovresti fare.
1) sostituisci nella equzaione generale $x^2+y^2+ax+by+c=0$ prima il punto P e poi il punto O: a questo punto dovresti aver trovato un sistema di funzioni che descrive il comportamento di due parametri su 3, ovviamente il sistema è composto da due funzioni, e applicando una matrice puoi facilmente dimostrare che è un sistema indeterminato con infinito ^1 soluzioni; ma questo è una chicca non richiesta.
Manca una funzione che possa soddisfare tutte e 3 le variabili a b e c dell'equazione generale, e quindi:
2) Fai l'intersezione fra la retta $y=3x$ e $x^2+y^2+ax+by+c=0$, in cui potresti aver già sostituito i valori di trovati con le funzioni che li descrivono, ma è meglio lasciare ancora a b e c indeterminati e poi solo successivamente nel sistem di equazioni sostituirli.
Facendo l'intersezione, sostituisci ad esempio $3x$ al posto di $y^2$ e $y$, ricavando un equazione di secondo grado, che avrà la classica forma $ax^2+bx+c=0$ (ovviamente al posto degli a, dei b e dei c avrai cose strane.). A questo punto non devi fare altro che porre
DELTA =0, ossia $b^2-4ac=0$. così avrai la terza funzione da mettere nel sistemone in cui ne mancava una.
3) risolvi il sistema, trovando quindi i 3 valori a, b e c, da sostituire nell'equazione generale della circonferenza.
Per il secondo problema non devi far altro che le stesse cose di prima:
1) inserire il punto O (0;0) nell'equazioen generale della circonferenza, e trovar eun parametro in funzione degli altri due.
2) fare l'intersezione di $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con $y=-x$, e poi porre, nel momento in cui hai solo un'equazione di secondo grado con a b e c, il delta =0, trovando un altro parametro in funzione degli altri due.
3) fare l'intersezione $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con $y=(x+5)/2$, e poi porre, nel momento in cui hai solo un'equazione di secondo grado con a b e c, il delta =0, trovando un altro parametro in funzione degli altri due.
4) fare il sistema tra i 3 parametri trovati, ricavandoli tutti e tre. sostituisci i valori a b e c nell'equazione generale della circonferenza e hai risolto anche il secondo esercizio. Come noti basta capire il metodo e poi si risolvono tutti facilmente, se non fosse magari per i calcoli lunghi e noiosi.
ciauz
innanzitutto, quello che sai è:
1) la formula generica della circonferenza, ossia: $x^2+y^2+ax+by+c=0$
2) che la formula generica deve essere soddisfatta per i punti O(0;0) e P(0;-53/15)
3) che in O la circonferenza è tangente a $y=3x$
tutte queste 3 condizioni devono essere soddisfatte... poichè non vuoi la risoluzione passo per passo non te la darò, ma ti dico i vari passaggi che dovresti fare.
1) sostituisci nella equzaione generale $x^2+y^2+ax+by+c=0$ prima il punto P e poi il punto O: a questo punto dovresti aver trovato un sistema di funzioni che descrive il comportamento di due parametri su 3, ovviamente il sistema è composto da due funzioni, e applicando una matrice puoi facilmente dimostrare che è un sistema indeterminato con infinito ^1 soluzioni; ma questo è una chicca non richiesta.
Manca una funzione che possa soddisfare tutte e 3 le variabili a b e c dell'equazione generale, e quindi:
2) Fai l'intersezione fra la retta $y=3x$ e $x^2+y^2+ax+by+c=0$, in cui potresti aver già sostituito i valori di trovati con le funzioni che li descrivono, ma è meglio lasciare ancora a b e c indeterminati e poi solo successivamente nel sistem di equazioni sostituirli.
Facendo l'intersezione, sostituisci ad esempio $3x$ al posto di $y^2$ e $y$, ricavando un equazione di secondo grado, che avrà la classica forma $ax^2+bx+c=0$ (ovviamente al posto degli a, dei b e dei c avrai cose strane.). A questo punto non devi fare altro che porre
DELTA =0, ossia $b^2-4ac=0$. così avrai la terza funzione da mettere nel sistemone in cui ne mancava una.
3) risolvi il sistema, trovando quindi i 3 valori a, b e c, da sostituire nell'equazione generale della circonferenza.
Per il secondo problema non devi far altro che le stesse cose di prima:
1) inserire il punto O (0;0) nell'equazioen generale della circonferenza, e trovar eun parametro in funzione degli altri due.
2) fare l'intersezione di $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con $y=-x$, e poi porre, nel momento in cui hai solo un'equazione di secondo grado con a b e c, il delta =0, trovando un altro parametro in funzione degli altri due.
3) fare l'intersezione $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con $y=(x+5)/2$, e poi porre, nel momento in cui hai solo un'equazione di secondo grado con a b e c, il delta =0, trovando un altro parametro in funzione degli altri due.
4) fare il sistema tra i 3 parametri trovati, ricavandoli tutti e tre. sostituisci i valori a b e c nell'equazione generale della circonferenza e hai risolto anche il secondo esercizio. Come noti basta capire il metodo e poi si risolvono tutti facilmente, se non fosse magari per i calcoli lunghi e noiosi.
ciauz
scusami ma non capisco....sono entrata in confusione...
Metodo alternativo:
- poni le coordinate del centro $C (\alpha;\beta)$
- calcola la distanza di C dalla tangente e ponila uguale a $\bar{CO}$
- metti a sistema questa equazione in $\alpha$ e $\beta$ con l'equazione $\bar{CO}=\bar{CP}$
Trovi $\alpha$ e $\beta$
note le coordinate del centro usa l'equazione:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2
- poni le coordinate del centro $C (\alpha;\beta)$
- calcola la distanza di C dalla tangente e ponila uguale a $\bar{CO}$
- metti a sistema questa equazione in $\alpha$ e $\beta$ con l'equazione $\bar{CO}=\bar{CP}$
Trovi $\alpha$ e $\beta$
note le coordinate del centro usa l'equazione:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2
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