Problema trigonometrico con quadrato

[gianluca448]

Internamente al quadrato ABCD di lato a determinare un punto P in modo che l'angolo APB sia retto e che sia $ (4-sqrt(3))/2(a^2) $ la somma dei quadrati delle distanze di P dai quattro vertici del quadrato.


Mi risulta una la x con cui ho chiamato l'angolo PBA uguale a 45,76, non so se può essere giusto

[@melia]

Come si può evincere dai calcoli fatti da TeM, la somma dei quadrati delle distanze del punto P dai 4 vertici è
$2a^2(2-sin2x)$, il minimo valore che questa relazione può assumere si ha quando $sin2x=1$, caso in cui la relazione vale $2a^2$, ma $(4-sqrt3)/2$ è minore di 2.
Il problema ammetterebbe soluzioni se a denominatore non ci fosse quel 2.

[gianluca448]

"TeM":Dato che \(APB\) è un triangolo rettangolo di ipotenusa \(\overline{AB} = a\), detto \(x := P\hat{B}A\), direttamente dalle definizioni di seno e coseno segue che \(\overline{PA} = a\,\sin x\) e \(\overline{PB} = a\,\cos x\). A questo punto, considerando rispettivamente i triangoli \(BPC\) e \(APD\), per il teorema del coseno (o di Carnot), si ha \(\overline{PC}^2 = (a\,\cos x)^2 + a^2 - 2\,(a\,\cos x)\,a\,\cos(90° - x)\) e \(\overline{PD}^2 = (a\,\sin x)^2 + a^2 - 2\,(a\,\sin x)\,a\,\cos x\). Non rimane che imporre \(\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PD}^2 = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}\,a^2\) che semplificata porge \(2\,a^2 \left(2 - \sin(2\,x)\right) = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}\,a^2\), da cui \(\sin(2\,x) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{4}\) e dato che il codominio della funzione seno è noto essere \([-1,\,1]\) se ne deduce che tale equazione è verificata per alcun \(x\) reale e quindi non esiste alcun punto \(P\) interno a detto quadrato che soddisfa quanto richiesto.

Ok, io ho avuto forse la pazza idea di poi fare $ senx=1/2+sqrt(3)/8 $
e calcolandomi l'arcoseno mi veniva quell'angolo che dicevo prima

[gianluca448]

si anche a me viene come te...però ho avuto forse la pazza idea che quel 2 del sen2x lo sono andato a metterlo nel come divisore nel secondo membro....ma forse non si può fare? Non so se sono stato chiaro?

[gianluca448]

ok grazie