Problema trigonometria K

[gianluca448]

Ciao ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto su questo problema

Sui due lati OX ed OY di un triangolo rettangolo si considerino, rispettivamente due punti M ed N, tali che OM=1 e ON =$ sqrt(3) $
Si traccia una semiretta uscente da O, che forma con OX un angolo variabile e si indichino con M' ed N' le proiezioni di Med N su tale semiretta; si consideri infine il punto medio P del segmento M'N'.
Determinare l'angolo NOP in modo che il triangolo NOP abbia area che vale $ Ksqrt(3)/8 $
Quanto misura inoltre l'angolo NOP nel caso in cui K=3

[gianluca448]

Grazie per il suggerimento.

Ma volendo farlo senza usare il piano cartesiano, e quindi le coordinate dei punti , come si potrebbe fare?

[@melia]

Poni $Nhat(O)P=x$ con $0<=x<=pi/2$, del triangolo rettangolo $NON'$ conosci l'ipotenusa e l'angolo $x$ e ricavi $ON'$.
Poi lavori sul triangolo rettangolo $MOM'$ e anche qui conosci un angolo acuto $Mhat(O)P=pi/2-x$ e l'ipotenusa. Per trovare $OP$ basta fare $OP=(ON' + OM')/2$. Adesso indichi con H la proiezione di P sul lato $ON$, del triangolo rettangolo $OPH$ conosci l'ipotenusa e un angolo acuto, così puoi trovare $PH$. Infine l'area del triangolo $NOP$ è data da $(ON*PH)/2$

[gianluca448]

Grazie per il suggerimento.

Dopo aver inserito i dati trovati nella formula dell'area uguagliata a $ Ksqrt(3)/8 $ , devo metterla a sistema con $ x^2+y^2=1 $ ??

[@melia]

Dovrebbe venire un'equazione riducibile ad omogenea di secondo grado, credo sia opportuno trasformarla in tangente, non metterla a sistema con un'altra equazione di secondo grado: che te ne fai di un sistema di quarto grado non riducibile?

[gianluca448]

$ [(sqrt(3)) (sqrt(3)senxcosx + sen^2x)/2]/2 =ksqrt(3)/8 $

- $ (3senxcosx +sqrt(3) sen^2x)/4 =ksqrt(3)/8 $

$ (3senxcosx + sqrt(3)sen^2x) =ksqrt(3)/2 $

Qui divido per tutto per $ cos^2x $ ?

Cosi dovrei trovarmi

$ 3tgx +sqrt(3)tg^2x- ksqrt(3)/2 $ ???

[@melia]

Questa equazione è riducibile ad omogenea, non è omogenea

$ (3senxcosx + sqrt(3)sen^2x) =ksqrt(3)/2 $

devi moltiplicare per $sin^2x + cos^2 x$ il termine con il parametro, ottieni

$(3sinxcosx + sqrt(3)sin^2x) =ksqrt(3)/2(sin^2x + cos^2 x)$

$(sqrt3 - ksqrt(3)/2)sin^2 x + 3sinxcosx - ksqrt(3)/2 cos^2 x=0$

adesso, dopo aver posto $cos x !=0$, puoi dividere per $cos^2 x$

[gianluca448]

Scusa l'ulteriore domanda,

è possibile moltiplicare per $ sen^2x+cos^2x $ perchè è come se moltiplico per 1 visto che $ sen^2x+cos^2x =1 $??

Grazie ancora

[@melia]

Esattamente

[gianluca448]

- $ tg^2x(2sqrt(3)-ksqrt(3))+6tgx -ksqrt(3) $

- $ tgx= -6+- sqrt(36+4ksqrt(3)(2sqrt(3)-k sqrt(3))]/[(2)(2sqrt(3)-k sqrt(3) $

Ovviamente pure il -6 è compreso nella frazione ma non sono riuscito a riproporlo qui in formula

All'interno della radice mi viene $ 36+24k-12k^2 $

[@melia]

Nel caso di problemi parametrici, come questo, devi solo individuare per quali valori di k il problema ammette soluzioni.
Poi devi risolverlo con k=3, che è la seconda domanda.

[gianluca448]

ok grazie mille