Problema trigonometria e limiti
Data una semicirconferenza di diametro $AB = 2r$ si tracci la tangente t parallela ad AB e si indichi con C il punto di contatto. Considerato un punto D dell'arco BC, e denotato con E il punto che t ha in comune con la semiretta AD, calcolare il limite del rapporto$(CD+DE)/CE$ al tendere di D a C.
essendo il triangolo ABC isoscele, gli angoli alla base sono di 45°.
ponendo $DAB=alpha$ e $DE=x$, che $CD=2rsen45°$ DE=x e $AD=2rcos(alpha)$ , ma andando a calcolre CE col teorema del coseno mi viene un numero negativo...
Il risultato del rapporto è 1
Poi vorrei capire attraverso una dimostrazione perchè il triangolo è isoscele (dal disegno sembra evidente).
essendo il triangolo ABC isoscele, gli angoli alla base sono di 45°.
ponendo $DAB=alpha$ e $DE=x$, che $CD=2rsen45°$ DE=x e $AD=2rcos(alpha)$ , ma andando a calcolre CE col teorema del coseno mi viene un numero negativo...
Il risultato del rapporto è 1
Poi vorrei capire attraverso una dimostrazione perchè il triangolo è isoscele (dal disegno sembra evidente).
Risposte
Ciao, innanzitutto il triangolo ABC é isoscele, e per dimostrarlo basta che consideri i due triangoli AOC e BOC (dove O é il centro della circonferenza). Nota che OA=OB=OC=r in quanto raggi del cerchio. Poiché C é il punto di intersezione di una tangente parallela ad AB, il raggio OC sará necessariamente perpendicolare alla tangente e di conseguenza ad AB. A questo punto nota che AC e BC sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli aventi entrambi i due cateti uguali a r, quindi AC e CB non possono che essere uguali.
Purtroppo non mi risulta chiaro cosa intendevi scrivere con la tua formula $\frac{CD+DE}{C}E$ .
Inoltre, sei sicuro che $CD=2r\sin(\pi/4)$ ?
Mi sembra un po' strano, in quanto il punto D dovrebbe essere un punto arbitrario scelto nell'arco BC.
Secondo quanto hai scritto, se scegli D vicinissimo a C (quindi CD é prossimo a zero) é la stessa cosa che scegliere D vicino a B (CD tenderebbe a $\sqrt{2}$). Credo ci sia un errore in questo punto.
Purtroppo non mi risulta chiaro cosa intendevi scrivere con la tua formula $\frac{CD+DE}{C}E$ .
Inoltre, sei sicuro che $CD=2r\sin(\pi/4)$ ?
Mi sembra un po' strano, in quanto il punto D dovrebbe essere un punto arbitrario scelto nell'arco BC.
Secondo quanto hai scritto, se scegli D vicinissimo a C (quindi CD é prossimo a zero) é la stessa cosa che scegliere D vicino a B (CD tenderebbe a $\sqrt{2}$). Credo ci sia un errore in questo punto.
ho sbagliato a scrivere; il rapporto è $ (CD+DE)/(CE)$
e poi CD dovrebbe essere uguale a $2pisen45°$
e poi CD dovrebbe essere uguale a $2pisen45°$
scusa $2rsen(45°-alpha)$
Perché non hai scritto semplicemente:
$CD = 2r\sin(\pi/4 - \alpha)$
$CE = cotg(2\alpha)$
$DE = CE - r$
Cosí facendo il rapporto che hai indicato tu per $\alpha \to \pi/4$ si calcola quasi a mente e viene 1.
$CD = 2r\sin(\pi/4 - \alpha)$
$CE = cotg(2\alpha)$
$DE = CE - r$
Cosí facendo il rapporto che hai indicato tu per $\alpha \to \pi/4$ si calcola quasi a mente e viene 1.
perchè $CE=cotg(2alpha)$ e $DE=CE-r$ ?
La funzione cotangente ha un significato geometrico, e talvolta viene definita proprio usando tale interpretazione.
Dai un'occhiata a questa figura: http://www.aulafacil.com/matematicas-trigonometria-plana/curso/trigonometriaplana079.jpg
Deve essere sicuramente menzionato nel tuo libro testo.
Dai un'occhiata a questa figura: http://www.aulafacil.com/matematicas-trigonometria-plana/curso/trigonometriaplana079.jpg
Deve essere sicuramente menzionato nel tuo libro testo.
grazie mille... non ci avevo fatto caso che CE è proprio la cotangente dell'angolo al centro.
Perchè poi $DE=CE-r$ ?
Perchè poi $DE=CE-r$ ?
scusami, nella fretta ho sbagliato.
$DE = OE - r = \sqrt{CE^2+r^2}-r $
$DE = OE - r = \sqrt{CE^2+r^2}-r $
ma le due semirette $AE$ e $OE$ non sono diverse e consecutive ? Il punto D non dovrebbe appartenere alla semiretta $OE$
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