Problema trigonometria con trapezio

[Ocinaslup]

In un trapezio rettangolo ABCD gli angoli in A ed in B, sono retti, inoltre si ha: $BC = 1$, $AB = 4$ e $tgCDA = 4/3$ (quindi ovviamente l'angolo in D è acuto). Scelto un punto M interno al lato BA, si conduca per tale punto la parallela a CD e sia N il punto di intersezione di tale parallela col lato AD. Detta Q la proiezione di N sul lato CD, si determini il punto M in modo che sia verificata la relazione:
$CM + sqrt3*MN + 15sqrt3/4*NQ = 5 + 8sqrt3$
dopo aver dimostrato che il triangolo ACD è acutangolo.

Soluzione proposta: ho posto l'angolo $BMC = x$.
Quindi dalle relazioni sui triangoli rettangoli ho ricavato: $CM = (BC)/(senx) = 1/(senx)$ e $BM = CM*cosx = cosx/(senx)$.
Si ha perciò: $AM = AB - BM = 4 - (cosx)/(senx)$.
Dalla relazione precedente: $AN = AM*cotgCDA = 3 - 3/4*(cosx)/(senx)$.
Dal teorema di Pitagora applicato al triangolo AMN si ha: $MN = 5 - 5/4*(cosx)/(senx)$.
Poichè $tgCDA = 4/3$ si deduce che $HD = 3$ e $AD = 4$.
$ND = AD - AN = 1 + 3/4*(cosx)/(senx)$
ed infine $NQ = ND*senCDA = 4 + 3*(cosx)/(senx)$

Andando a sostituire i valori ottenuti nella relazione di partenza si ha un'equazione lineare in seno e coseno che io ho risolto con le formule parametriche, ma quando si arriva all'equazione risolutiva di secondo grado, nel delta viene un radicale doppio che non si può risolvere.

Ringrazio chi potrà darmi qualche consiglio utile.

[chiaraotta1]

Mi sembra che potrebbe funzionare facilmente così.....
I lati del trapezio hanno lunghezze $AB=4$, $BC=1$, $CD=5$, $DA=4$.
Posto $x=BM$, con $0<=x<=4$, si trova
$AM=4-x$,
$CM=sqrt(x^2+1)$,
$MN=5/4AM=5/4(4-x)$,
$NQ=4/5ND=4/5(AD-AN)=4/5(AD-3/4AM)=4/5(1+3/4x)$.
L'equazione che si ottiene è
$sqrt(x^2+1)+sqrt(3)x=5$,
con $0<=x<=4$,
che ha soluzione
$x=sqrt(3)$.