Problema trigonometria con semicirconferenza

[Jessep]

In una semicirconferenza di diametro $AB = 2r$ è condotta la corda $CD = r$ parallela al diametro (e con A più vicino a C). Determinare sull'arco BD un punto E in modo che, condotta da C la semiretta CE fino ad incontrare in F il prolungamento del diametro, si abbia: $(CE)/(CD) + (EF)/(BF) = (5sqrt3)/3$

Proposta di risoluzione: rappresentando graficamente il problema ho capito solamente che si vengono a formare tre triangoli equilateri: $COD$, $ACO$ e $ODB$ e ponendo l'angolo CFB = x ho cercato di ragionare con similitudini tra triangoli o teoremi ma non riesco a ricavare CE, EF e BF in funzione di r e x

Consigli per risolvere l'esercizio?
Grazie

[@melia]

Siccome CD e AB sono parallele anche FCD=x, anche DAE=x perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, d'altra parte CAD=30° perché metà del corrispondente angolo al centro, da cui CAE=30°+x.
Per trovare BF ed EF ti consiglio di portare la proiezione di C su AB e di chiamarla H, del triangolo rettangolo CHF conosci l'angolo in F e il cateto CH, puoi trovare BF e EF per differenza di segmenti.

[Jessep]

Ma CE come lo calcolo?

[chiaraotta1]

Mi pare che si potrebbe anche ragionare così ......
Se indichi con $O$ il punto medio di $AB$ e con $2x$ l'angolo $BhatOE$ ($0°<2x<60°$ e $0° $EhatOC=120°-2x$,
$OhatEC=OhatCE=(180°-EhatOC)/2=30°+x$,
$OhatEF=180°-OhatEC=150°-x$,
$OhatFE=180°-(BhatOE+OhatEF)=30°-x$.
Da cui
$CE=2OEcos(OhatEC)=2rcos(30°+x)$,
$(EF)/sin(BhatOE)=(OE)/sin(OhatFE)->EF=r*sin(2x)/sin(30°-x)$,
$(OF)/sin(OhatEF)=(OE)/sin(OhatFE)->OF=r*sin(150°-x)/sin(30°-x)$,
$BF=OF-OB=r*sin(150°-x)/sin(30°-x)-r=r(sin(150°-x)/sin(30°-x)-1)$.

[@melia]

"Jessep":Ma CE come lo calcolo?

Con il teorema della corda, usando l'angolo CAE

[gianluca448]

Sostituendo i dati trovati nella condizione $ (CE)/(CD) + (EF)/(BF)= 5sqrt(3)/3 $

Mi risulta poi:

$ [2r(sqrt(3)/2cosx + senx)/r]+ [(2rsenxcosx)/((cosx/2)+(sqrt(3)senx)/(2)]]/ [((cosx)/(2)+sqrt(3)(senx)/(2)]/((cosx)/(2)+sqrt(3)(senx)/(2))-1]=5sqrt(3)/3 $

Poi svolgendo un po di calcoli mi torna:

$ sqrt(3)cosx + senx + 2cosx/sqrt(3) = 5sqrt(3)/3 $
$ sqrt(3)senx=5-5cosx $

Elevo tutto al quadrato

$ 3sen^2x=25+25cos^2x-50cosx $

Dopo $ sen^2 $ lo trasformo in funzione del coseno e ho

$ 14cos^2x-25cosx +11=0 $

Mi trovo due soluzioni che però mi sembrano strane, ovvero $ x=1 $ e $ x=11/4 $

Volevo chiedervi se ho sbagliato da qualche parte...grazie per la collaborazione

[gianluca448]

Ciao ragazzi, vi chiedo aiuto per la conclusione di questo problema, mi vengono due soluzioni che mi sembrano strane