Problema trigonometria (47123)

[luixfux]

Nel triangolo ABC, rettangolo in C, l'area misura 24 e AC=6. Considera un punto P variabile sulla semicirconferenza di diametro CB esterna al triangolo. Sia D la sua proiezione su CB ed E la proiezione di D su AB. Posto l'angolo PBC=x, rappresenta graficamente:
a) f(x)= DB+PD
b) g(x)= AE

Grazie in anticipo!!! ;)

[BIT5]

Del triangolo ABC conosciamo il cateto AC e l'area, e pertanto possiamo ricavare l'altro cateto (l'area e' il semiprodotto dei cateti) che sara' 8 (CB=8 ) e l'ipotenusa AB con Pitagora (che sara' dunque 100)

a) Unisci P a C.
Il triangolo BPC e' rettangolo in P quanto inscritto in una circonferenza.
Posto x l'angolo consigliato dal problema, avremo che l'ipotenusa CB del triangolo PBC sara' 8 e pertanto, PB=8 cos x e PC = 8 sen x

PD, proiezione di P su BC, forma il triangolo rettangolo PBD di cui conosciamo l'ipotenusa PB (=8 cos x) e l'angolo PBC (=x) e pertanto potremo trovare:

[math] \bar{PD} = 8 \cos x \sin x [/math]

e

[math] \bar{DB}=8 \cos x \cos x = 8 \cos^2 x [/math]

La funzione da rappresentare sara' dunque

[math] f(x)=8 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x [/math]

b)

dal momento che il triangolo ACB ha tutti i cateti noti, possiamo ricavare il seno e il coseno dell'angolo CBA che chiamo per comodita'

[math] \beta [/math]

[math] \sin \beta = \frac{\bar{AC}}{\bar{AB}} = \frac35 [/math]

[math] \cos \beta = \frac45 [/math]

Del triangolo DBE, dunque, conosciamo i valori dell'angolo beta e l'ipotenusa DB =

[math]8 \cos^2 x [/math]

Pertanto BE sara'

[math] \frac45 \cdot 8 \cos^2 x = \frac{32}{5} \cos^2 x [/math]

E dunque

[math] g(x)=10- \frac{32}{5} \cos^2 x [/math]

Attento alle limitazioni di x che potra' essere minimo 0 massimo pigreco/2.

Altrimenti, se lo studio delle funzioni non dev'essere limitato all'insieme di definizione di x (angolo) allora entrambe le funzioni saranno definite su tutto R.

Se hai dubbi chiedi

Aggiunto 4 minuti più tardi:

A parte che non capisco la richiesta di Devil Night (cioe', come fai a sapere cosa c'e' sul libro?)

Sicuro che parli dell'identico problema di luixfux?

Magari sono simili ma non identici..

[Devil Knight]

si... allora
sul libro c'è scritto che
a)

[math]f(x)= 4+4\sqrt{2}sen(2x+\frac{\pi}{4})[/math]

b)

[math]g(x)= \frac{34}{5}-\frac{16}{5}cos2x[/math]

non so se cambi qualcosa però se riesci a speigarmelo farai cosa gradita... ;)