Problema Trigonometria

[Bob_inch]

Perché oggi mi va tutto male?

Risolviamolo insieme e poi direte. Sono curioso di vedere dove sbaglio stavolta.

Un settore circolare AOB ha l'ampiezza di 120° ed è dimezzato dal raggio OM. Si considerino il punto P, interno all'arco BM, il punto Q intorno all'arco MA, in modo che l'angolo POM superi di 30° l'angolo MOQ. Dopo aver indicato con R l'intersezione di BO con la parallela a MO, passante per P, e con S l'intersezione di OA con la parallela a MO, passante per Q, si determini l'ampiezza dell'angolo MOQ in modo che sia verificata la relazione PR\QS=[(sqrt3)-1]/2.
[15°]



Chiamo alfa l'angolo MOQ. Ne consegue: QOS=60-ALFA, MOP=30+ALFA, POR=30-ALFA.

Applico il teorema del seno ai due triangoli QSO, OPR.

PR/SEN(30-ALFA)=2R
A conti fatti:
PR=2R(1/2 COS ALFA - SQRT3/2 SEN ALFA)

QS/SEN(60-ALFA)=2R
A conti fatti:
QS=2R(SQRT3/2 COS ALFA - 1/2 SEN ALFA)

Ora sfrutto il dato PR\QS=[(sqrt3)-1]/2
sostituendo PR e QS vedremo che 2R se ne andranno via. Ora ci resta una equazione goniometrica in ALFA.

Fatti un po' di calcoli mi viene fuori: TG ALFA= (sqrt3-1)/(sqrt(3+1), il che corrisponde a 16.7 °.

Ora mi chiedo: il procedimento mi sembra giusto. Vado a cena che è meglio! (<- Quattrocchi)

[MaMo2]

"ExMarco88":Perché oggi mi va tutto male?

......
Applico il teorema del seno ai due triangoli QSO, OPR.

PR/SEN(30-ALFA)=2R
A conti fatti:
PR=2R(1/2 COS ALFA - SQRT3/2 SEN ALFA)

QS/SEN(60-ALFA)=2R
A conti fatti:
QS=2R(SQRT3/2 COS ALFA - 1/2 SEN ALFA)
.....

Attento! R non è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo OPR.
Applichiamo il teorema dei seni al triangolo OPR. Essendo l'angolo ORP = 120°, si ha:
$(PR)/sin(30° - alpha)=(OP)/sin(120°)$
cioè:
$PR=(2sqrt3r*sin(30°-alpha))/3$
e così per il triangolo OQS.

[Bob_inch]

"MaMo":

Attento! R non è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo OPR.

Perchè?

[MaMo2]

Pensavo che con R avessi indicato il raggio del settore circolare.
Il tuo procedimento presuppone però che i raggi dei cerchi circoscritti ai triangoli OPR e OQS siano uguali. Questo è vero anche se dovresti prima dimostrarlo.
In conclusione la tua soluzione è corretta.
Anche il risultato da te ottenuto è giusto infatti si ha:
$tanalpha=(sqrt3-1)/(sqrt3+1)=2-sqrt3$
Questo valore corrisponde ad un angolo di 15°.

[Bob_inch]

Pace!


Mi sono accorto che la mia calcolatrice era impostata in G e per questo non funzionava.
Va impostata in D.

Grazie MaMo per la consulenza di questi giorni, mi è stata davvero utile!


Edit: tu con r intendi OP, vero?