Problema trigonometria
Ciao a tutti 
, volevo chiedervi un aiuto per risolvere un problema di trigonometria. Questo è:
Nella semicirconferenza di diametro AB=2r è inscritto il triangolo rettangolo isoscele ABC. Determinare sull'arco AC un punto P in modo che risulti: AP+PB+PC = 2kr.
Ora: io ho posto come x l'angolo PAC quindi:
PC=2r sinx
PA=2r sin(45-x)
PB=2rsin(45+x)
sostituisco in: AP+PB+PC = 2kr ottenendo:
sinx +radice2cosx=k.
So che a questo punto bisogna discutere la x (o almeno credo) solo che i problemi con discussione non li abbiamo fatti nel biennio, quindi volevo chiedervi come devo procedere nella discussione e cosa devo fare per finire il problema.
Grazie.
Auguri a tutti.
CMFG
, volevo chiedervi un aiuto per risolvere un problema di trigonometria. Questo è:Nella semicirconferenza di diametro AB=2r è inscritto il triangolo rettangolo isoscele ABC. Determinare sull'arco AC un punto P in modo che risulti: AP+PB+PC = 2kr.
Ora: io ho posto come x l'angolo PAC quindi:
PC=2r sinx
PA=2r sin(45-x)
PB=2rsin(45+x)
sostituisco in: AP+PB+PC = 2kr ottenendo:
sinx +radice2cosx=k.
So che a questo punto bisogna discutere la x (o almeno credo) solo che i problemi con discussione non li abbiamo fatti nel biennio, quindi volevo chiedervi come devo procedere nella discussione e cosa devo fare per finire il problema.
Grazie.
Auguri a tutti.
CMFG
Risposte
Devi solo risolvere l'equazione lineare in seno e coseno:
$sinx + sqrt(2)*cosx - k=0$
che puoi risolvere per esempio col metodo dell'arco aggiunto.
Semmai devi discutere i valori di k e, in funzione di quelli, otterrai dei valori di x.
Domattina magari me la faccio con più attenzione.
Ciao, auguri anche a te.
Fabio
$sinx + sqrt(2)*cosx - k=0$
che puoi risolvere per esempio col metodo dell'arco aggiunto.
Semmai devi discutere i valori di k e, in funzione di quelli, otterrai dei valori di x.
Domattina magari me la faccio con più attenzione.
Ciao, auguri anche a te.
Fabio
Ciao, grazie per l'aiuto ma nelle soluzioni che compaiono nel mio libro c'è scritto:
0<= x<= pigreco/4
e poi continua con:
una soluzione per k appartenente a [radice2; 1+radice2/2[ e ancora: due soluzione per k appartenente a [1+radice2/2; radice3].
Come faccio a ottenere questi risultati?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
CMFG
0<= x<= pigreco/4
e poi continua con:
una soluzione per k appartenente a [radice2; 1+radice2/2[ e ancora: due soluzione per k appartenente a [1+radice2/2; radice3].
Come faccio a ottenere questi risultati?
CMFG
Risolvi l'equazione lineare in seno e coseno con le forumule parametriche. Poi osserva come varia la x al viariare di k e se hai fatto bene i calcoli dovresti ottenere i risultati del libro. Purtroppo ora non ho il tempo per fare i calcoli...
sinx+radice2cosx=k
2t+radice2(1-t^2)-k(1+t^2)=0
t= -2 +o- radice(12+k^2)
--------------------------
-radice2-k
o devo fare: sinx+radice2cosx=0
che mi viene: t= 1+o- radice3
---------------
radice2
AIUTO!!!!
CMFG
2t+radice2(1-t^2)-k(1+t^2)=0
t= -2 +o- radice(12+k^2)
--------------------------
-radice2-k
o devo fare: sinx+radice2cosx=0
che mi viene: t= 1+o- radice3
---------------
radice2
AIUTO!!!!
CMFG
(cosx)^2 + (sinx)^2 =1
sinx +radice2cosx=k
0 <=x<= 45°
con la sostituzione cosx = X , sinx = Y ottieni il sistema
X^2 + Y^2 =1 circonferenza
Y +radice2X - k =0 fascio improprio
radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2
a questo punto discuti il sistema con il metodo grafico
per maggior chiarezza ti consiglio di guardare il tuo libro, sicuramente da qualche parte ci sono queste cose
sinx +radice2cosx=k
0 <=x<= 45°
con la sostituzione cosx = X , sinx = Y ottieni il sistema
X^2 + Y^2 =1 circonferenza
Y +radice2X - k =0 fascio improprio
radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2
a questo punto discuti il sistema con il metodo grafico
per maggior chiarezza ti consiglio di guardare il tuo libro, sicuramente da qualche parte ci sono queste cose
Scusate l’insistenza ma non riesco a capire lo stesso… Per favore scrivete i passaggi… Prima di tutto come faccio ad ottenere l’intervallo 0 ≤ x ≤ Π/4 ?
1) ho capito dopo l’aiuto di Piera (grazie) che da : 0 ≤ x ≤ Π/4 ottengo:
radice2/ 2≤ cosx ≤ 1 e 0≤ senx ≤ radice2/2
poi sostituisco in radice2cosx+sinx =k
cosx=1 e sinx=0 e trovo k= radice2
cosx=radice2/2=sinx e trovo k= 1+radice2/2
2) X=cosx e Y=sinx
3) Disegno le rette: Y+radice2X = k (sostituendo k con i valori calcolati in 1)
Poi cosa devo fare? Come uso la circonferenza X^2 + Y^2 = 1?
Aiutatemi per favore…
CMFG
1) ho capito dopo l’aiuto di Piera (grazie) che da : 0 ≤ x ≤ Π/4 ottengo:
radice2/ 2≤ cosx ≤ 1 e 0≤ senx ≤ radice2/2
poi sostituisco in radice2cosx+sinx =k
cosx=1 e sinx=0 e trovo k= radice2
cosx=radice2/2=sinx e trovo k= 1+radice2/2
2) X=cosx e Y=sinx
3) Disegno le rette: Y+radice2X = k (sostituendo k con i valori calcolati in 1)
Poi cosa devo fare? Come uso la circonferenza X^2 + Y^2 = 1?
Aiutatemi per favore…
CMFG
P si muove sull’arco AC ; quando P si avvicina a C l’angolo
PAC diventa sempre più piccolo fino a diventare zero in C ;
quando P si avvicina al punto A l’angolo PAC diventa sempre
più grande fino a diventare 45° in A.
Complessivamente 0 <= x <= 45°.
discutiamo il sistema:
X^2 + Y^2 =1
Y +radice2X - k =0
radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2
essendo radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2 ,
dobbiamo considerare l’arco di circonferenza di estremi
A(1,0) e B(radice2/2 , radice2/2)
Adesso troviamo per quali valori di k
Y +radice2X - k =0
passa per A , poi per B, e infine è tangente alla circonferenza
sostituendo su Y +radice2X - k =0 le coordinate di A(1,0) ottengo
radice2 –k =0 , ovvero k = radice2
facendo lo stesso con B ottengo k= 1 + radice2/2
per trovare la retta tangente un metodo è questo:
Y +radice2X - k =0 è tangente alla circonferenza
quando la distanza tra il centro (0,0) della circonferenza e la retta
è uguale al raggio della circonferenza che è 1.
Utilizzando la formula della distanza tra un punto e una retta si ottiene
|0 + radice2 * 0 –k|/radice(1 + 2) =1 , cioè
|-k| = radice3
k = + o –radice3
dato che k è positivo prendiamo solo k = radice3
a questo punto tracciando il grafico delle tre rette si vede che
per k appartenente a [radice2; 1+radice2/2[ si ha una soluzione
in quanto la retta interseca la circonferenza in un solo punto;
per k appartenente a [1+radice2/2; radice3] si hanno due soluzioni
in quanto la retta interseca la circonferenza in due punti.
PAC diventa sempre più piccolo fino a diventare zero in C ;
quando P si avvicina al punto A l’angolo PAC diventa sempre
più grande fino a diventare 45° in A.
Complessivamente 0 <= x <= 45°.
discutiamo il sistema:
X^2 + Y^2 =1
Y +radice2X - k =0
radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2
essendo radice2/2 <=X<=1 , 0<=Y<=radice2/2 ,
dobbiamo considerare l’arco di circonferenza di estremi
A(1,0) e B(radice2/2 , radice2/2)
Adesso troviamo per quali valori di k
Y +radice2X - k =0
passa per A , poi per B, e infine è tangente alla circonferenza
sostituendo su Y +radice2X - k =0 le coordinate di A(1,0) ottengo
radice2 –k =0 , ovvero k = radice2
facendo lo stesso con B ottengo k= 1 + radice2/2
per trovare la retta tangente un metodo è questo:
Y +radice2X - k =0 è tangente alla circonferenza
quando la distanza tra il centro (0,0) della circonferenza e la retta
è uguale al raggio della circonferenza che è 1.
Utilizzando la formula della distanza tra un punto e una retta si ottiene
|0 + radice2 * 0 –k|/radice(1 + 2) =1 , cioè
|-k| = radice3
k = + o –radice3
dato che k è positivo prendiamo solo k = radice3
a questo punto tracciando il grafico delle tre rette si vede che
per k appartenente a [radice2; 1+radice2/2[ si ha una soluzione
in quanto la retta interseca la circonferenza in un solo punto;
per k appartenente a [1+radice2/2; radice3] si hanno due soluzioni
in quanto la retta interseca la circonferenza in due punti.
GRAZIE GRAZIE GRAZIE!!!!!!!!!!
CMFG
CMFG
Grazie per l'aiuto ho fatto il problema come mi hai spiegato e ho fatto anche quello dopo... Una soddisfazione vedere che uscivano!!
Comunque: ho capito il meccanismo che devo seguire per determinare il limite dell'angolo X ma che regola seguo per capire se gli estremi vanno inclusi o meno?
CMFG
Comunque: ho capito il meccanismo che devo seguire per determinare il limite dell'angolo X ma che regola seguo per capire se gli estremi vanno inclusi o meno?
CMFG
i passi per risolvere un problema di trigonometria con discussione sono:
1) chiamare con x un angolo della figura
2) vedere come varia x ( nel problema che hai scritto all'inizio 0 < x < 45° )
3) discussione preliminare, ovvero vedere se gli estremi di 0 < x < 45° vanno inclusi o meno
4)trovare (sempre riferito al problema che hai scritto) AP , PB , PC
5) discutere AP+PB+PC = 2kr
per quanto riguarda il punto 3), puoi fare cosi':
disegna la figura per x=0 (in questo caso P coincide con C), e vediamo in corrispondenza di questa figura se k è accettabile.
risulta
PC = 0
AP = AC = r radice2
PB = BC = r radice2
sostituiamo questi valori su AP+PB+PC = 2kr
e viene 2r radice2 = 2kr, cioè
k = radice2 che è accettabile ( k deve essere positivo in quanto la somma dei segmenti AP+PB+PC lo è )
quindi l'estremo x = 0 deve essere incluso: 0<= x < 45°
facendo la stessa cosa per x = 45° (adesso P coincide con A) si ottiene
k = 1 + radice2/2 che è accettabile
complessivamente si ha 0 <= x <= 45°
rispondo qui al problema che hai postato nell'altro topic , se ho capito.
supponi, ad esempio, che l'area sia venuta
Area = r^2 sen x con 0 <= x <= 90°
allora devi tracciare il grafico di r^2 sen x nell'intervallo 0 <= x <= 90°
1) chiamare con x un angolo della figura
2) vedere come varia x ( nel problema che hai scritto all'inizio 0 < x < 45° )
3) discussione preliminare, ovvero vedere se gli estremi di 0 < x < 45° vanno inclusi o meno
4)trovare (sempre riferito al problema che hai scritto) AP , PB , PC
5) discutere AP+PB+PC = 2kr
per quanto riguarda il punto 3), puoi fare cosi':
disegna la figura per x=0 (in questo caso P coincide con C), e vediamo in corrispondenza di questa figura se k è accettabile.
risulta
PC = 0
AP = AC = r radice2
PB = BC = r radice2
sostituiamo questi valori su AP+PB+PC = 2kr
e viene 2r radice2 = 2kr, cioè
k = radice2 che è accettabile ( k deve essere positivo in quanto la somma dei segmenti AP+PB+PC lo è )
quindi l'estremo x = 0 deve essere incluso: 0<= x < 45°
facendo la stessa cosa per x = 45° (adesso P coincide con A) si ottiene
k = 1 + radice2/2 che è accettabile
complessivamente si ha 0 <= x <= 45°
rispondo qui al problema che hai postato nell'altro topic , se ho capito.
supponi, ad esempio, che l'area sia venuta
Area = r^2 sen x con 0 <= x <= 90°
allora devi tracciare il grafico di r^2 sen x nell'intervallo 0 <= x <= 90°
Ma come faccio a disegnare un grafico per esempio:
AREA=r^2sinx
se non conosco r e x?? è possibile averlo??
Comunque grazie di tutto... Davvero... Non ce l'avrei mai fatta a capire questi problemi se non fosse stato per l'aiuto ricevuto...
CMFG
AREA=r^2sinx
se non conosco r e x??
è possibile averlo??Comunque grazie di tutto... Davvero... Non ce l'avrei mai fatta a capire questi problemi se non fosse stato per l'aiuto ricevuto...
CMFG
r lo devi pensare come un numero noto, quello che varia è x
se ,ad esempio, r = 1, allora devi tracciare il grafico di y = sen x nell'intervallo
0 <= x <= 90°
se invece hai un r generico, y = r^2 sen x avrà un grafico simile a quello di y = sen x, con la differenza che per x = 90° y = r^2 mentre
y = sen x assumerà il valore y = 1
se ,ad esempio, r = 1, allora devi tracciare il grafico di y = sen x nell'intervallo
0 <= x <= 90°
se invece hai un r generico, y = r^2 sen x avrà un grafico simile a quello di y = sen x, con la differenza che per x = 90° y = r^2 mentre
y = sen x assumerà il valore y = 1
Perfetto...!! Grazie 1000...!! 
CMFG
CMFG
Ciao a tutti… volevo chiedervi se potete controllare i risultati di due problemi e aiutarmi nella risoluzione di un terzo (cosa che al momento di preme di più) questi sono:
1) dato il settore circola re AOB=60 di raggio r considerare sull’arco AB un punto P in modo che risulti: PH +1/radice3PK= mr con PH distanza P da OA e K il punto in cui la parallela per P a OA incontra il raggio OB.
A me esce: radice3/3 <= x <= radice3/2 2 soluzioni (al libro 1 soluzione)
Radice3/2 <= x <= radice7/3 1 soluzione (al libro 2 soluzioni).
2) detto B il punto medio del segmento AC=4r, nello stesso semipiano disegnare la semicirconferenza di diametro AB e il triangolo isoscele di base BC e altezza r. Condurre una parallela ad AC che incontri in E ed F la semicirconferenza e G e H i lati del triangolo in modo che: EF +GH = 4kr.
A me esce: 0< x <1 una soluzione (il libro comprende anche gli estremi, perché? È possibilissimo che abbia sbagliato ma nel disegnare le due rette a me risultano secanti, non tangenti)
(COSA Più IMPORTANTE)
3) non so come risolvere questo problema: data una semicirconferenza di diametro AB=2r sia AC una sua corda con AC=r*radice2. Determinare sul segmento AB un punto P tale che, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare per P ad AC incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, si abbia: PQ + PR = 2kr.
Io ho messo che CAO = ACO = 45°, AQP = 90°, poi però non so come continuare…
Grazie in anticipo…
CMFG
volevo chiedervi se potete controllare i risultati di due problemi e aiutarmi nella risoluzione di un terzo (cosa che al momento di preme di più) questi sono:1) dato il settore circola re AOB=60 di raggio r considerare sull’arco AB un punto P in modo che risulti: PH +1/radice3PK= mr con PH distanza P da OA e K il punto in cui la parallela per P a OA incontra il raggio OB.
A me esce: radice3/3 <= x <= radice3/2 2 soluzioni (al libro 1 soluzione)
Radice3/2 <= x <= radice7/3 1 soluzione (al libro 2 soluzioni).
2) detto B il punto medio del segmento AC=4r, nello stesso semipiano disegnare la semicirconferenza di diametro AB e il triangolo isoscele di base BC e altezza r. Condurre una parallela ad AC che incontri in E ed F la semicirconferenza e G e H i lati del triangolo in modo che: EF +GH = 4kr.
A me esce: 0< x <1 una soluzione (il libro comprende anche gli estremi, perché? È possibilissimo che abbia sbagliato ma nel disegnare le due rette a me risultano secanti, non tangenti)
(COSA Più IMPORTANTE)
3) non so come risolvere questo problema: data una semicirconferenza di diametro AB=2r sia AC una sua corda con AC=r*radice2. Determinare sul segmento AB un punto P tale che, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare per P ad AC incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, si abbia: PQ + PR = 2kr.
Io ho messo che CAO = ACO = 45°, AQP = 90°, poi però non so come continuare…
Grazie in anticipo…
CMFG
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