Problema Trigonometria

[xAle2]

Discuti al variare del parametro k, il numero di soluzioni dell'equazione $ 3a^2tan 2x+a^2-k=0 $ con $ -pi/6<= x<= pi/3 $ e $ a != 0 $

Mi potete spiegare come poter procedere?
Grazie

[ack6]

cerco di darti l'input.
tu sai che se ho un'equazione del tipo:

$ tan (hx)= m $

la soluzione è data da:

$ hx = delta + k pi $

con $ delta$ un'angolo tale che $ tan(delta)= m$.

Quindi, comincia con l'evidenziare la $tan$:

$tan(2x)= -3a^2-a^2+k$

a questo punto puoi iniziare la vera discussione, di cui ti do spunto:

se $k = -3a^2-a^2 $ l'equazione diventa $ tan(2x)=0$ la cui soluzione è $x= -pi/2 uu x=pi/2 uu x=0$ con $ x in [0;2pi] $

questo era solo uno spunto, tieni anche presente che nel tuo caso la x è limitata.

[ack6]

Mi è appena venuto in mente che potresti anche risolverla con il metodo grafico, non so se posso postare questi link ( credo di si essendo attinenti all'argomento, nel caso un admin me lo dica e provvedo a rimuoverli). Vedi questi due link:

http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2012/03/08/un-sistema-goniometrico-parametrico-3/

http://www.mcurie.com/admin/fckeditorDocenti/userfiles/11/file/Discussione%20sistemi%20parametrici%20goniometrici.pdf

spero ti siano utili.

[giammaria2]

"ack6":Quindi, comincia con l'evidenziare la $tan$:

$tan(2x)= -3a^2-a^2+k$

Errore di distrazione: la formula giusta è $tan2x=(k-a^2)/(3a^2)$.
Io preferirei questo altro metodo: cerchiamo le intersezioni fra le curve
${(y=k),(y=a^2(3tan2x+1)):}$

Per disegnare la seconda basta pensare al grafico della tangentoide (nel nostro caso dilatata e traslata); trovo facilmente che sale sempre e che nel tratto di interesse parte da $(-pi/6, a^2(-3sqrt3+1))$, va all'infinito per $x=pi/4$ ed arriva in $(pi/3, a^2(-3sqrt3+1))$.
Intersecandola con la retta $y=k$ trovo che ci sono 2 soluzioni in corrispondenza agli estremi ed 1 altrove.

[ack6]

"giammaria":
Errore di distrazione: la formula giusta è $tan2x=(k-a^2)/(3a^2)$.

hai perfettamente ragione, oggi proprio non me ne viene una.

Io preferirei questo altro metodo: cerchiamo le intersezioni fra le curve
${(y=k),(y=a^2(3tan2x+1)):}$

Per disegnare la seconda basta pensare al grafico della tangentoide (nel nostro caso dilatata e traslata); trovo facilmente che sale sempre e che nel tratto di interesse parte da $(-pi/6, a^2(-3sqrt3+1))$, va all'infinito per $x=pi/4$ ed arriva in $(pi/3, a^2(-3sqrt3+1))$.
Intersecandola con la retta $y=k$ trovo che ci sono 2 soluzioni in corrispondenza agli estremi ed 1 altrove.

si penso sia la strada più sicura, di fatto una soluzione simile ma comunque diversa è indicata nei link che ho postato.