Problema trigo! help!

[ho24anni]

Ragazzi buonasera. Non riesco a risolvere questo problema di trigonometria. Mi chiede di trovare l'area di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 80 cm e il seno della'angolo b = 2 sen di gamma....Come posso fare?

[BIT5]

Puoi procedere in diversi modi...

Sai che

[math] \frac{c}{a} = \sin \gamma[/math]

(dove gamma e' l'angolo opposto al cateto c e a e' l'ipotenusa)

Pertanto

[math] c=a \sin \gamma = 80 \sin \gamma [/math]

Analogamente sai che

[math] b= 80 \sin \beta = 80 \cdot 2 \sin \gamma [/math]

Per il Teorema di Pitagora sara'

[math] 80= \sqrt{80^2 \sin^2 \gamma + 80^2 \cdot 4\sin^2 \gamma} [/math]

Da cui

[math] 80 = \sqrt{80^2 ( \sin^2 \gamma + 4 \sin^2 \gamma)} [/math]

Porto fuori e ottengo

[math] 80 = 80 \sqrt{5 \sin^2 \gamma} [/math]

Ovvero

[math] 1 = \sqrt{5 \sin^2 \gamma} [/math]

E quindi

[math] 5 \sin^2 \gamma = 1 \to \sin^2 \gamma = \frac15 \to \sin \gamma = \pm \sqrt{\frac15} = \pm \frac{\sqrt5}{5} [/math]

(ho razionalizzato)

Sapendo che si parla di angoli di un triangolo rettangolo, e pertanto di angoli inferiori a 90 gradi, il seno sara' senz'altro positivo pertanto possiamo eliminare il valore con il segno meno davanti.

Quindi

[math] \sin \gamma = \frac{\sqrt5}{5} \\ \\ \sin \beta = \frac{2 \sqrt5}{5} [/math]

Pertanto

[math] c=\frac{80 \sqrt5}{5} \\ \\ \\ b= \frac{160 \sqrt5}{5} [/math]

L'area sara' il semiprodotto dei cateti:

[math] A= \frac{b \cdot c}{2} = \frac{ \frac{80 \sqrt5}{5} \cdot \frac{160 \sqrt5}{5}}{2} = \frac{2560}{2} = 1280 [/math]

se hai dubbi chiedi :)

Per semplicita' avresti potuto porre

[math] \sin \gamma = x \ \ \sin \beta = 2x [/math]

Avresti trovato il valore di x evitando di trascinarti la funzione seno per tutti i calcoli..

E' la stessa cosa ;)