Problema triangolo
Nel un triangolo ABC, sia M il punto medio del lato BC. Si prenda il punto P sulla mediana AM e
si prolunghi il segmento BP fino ad incontrare il lato AC nel punto Q. Sapendo che il triangolo BMP ha area 24 e il
triangolo APQ ha area 484, dire qual è l’area del triangolo ABC.
Non so proprio come partire, credo che mi sia perso qualche teorema xD L'unica osservazione che ho fatto è che l'area del triangolo ABC è più del doppio della somma delle aree dei triangoli BMP e APQ.
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in Secondaria II grado. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Scusa, credevo che in "Geometria" andassero anche i problemi di questo tipo.
Decisamente è un problema che mi ha fatto sudare (a meno di qualche idea luminosa): dove l'hai trovato?
Ho preferito lavorare non con numeri ma con lettere ed ho indicato ordinatamente con $p,q,y$ le aree di BPM, APQ, AMC (quest'ultima è la metà dell'area cercata); P' è il simmetrico di P rispetto ad M. Poichè triangoli con base uguale ed altezza comune hanno la stessa area, valgono $p$ anche le aree di PMC e P'MC.
Il quadrilatero BPCP' ha le diagonali che si intersecano nel loro punto medio, quindi è un parallelogramma: ne consegue che BQ è parallelo a P'C e quindi i triangoli APQ e AP'C sono simili, da cui $(AP)/(AP')=(AQ)/(AC)$.
Se due triangoli hanno la stessa altezza il rapporto fra le aree è uguale a quello fra le basi, quindi $(S(APC))/(S(AP'C))=(AP)/(AP')$ e $(S(APQ))/(S(APC))=(AQ)/(AC)$.
Da queste tre proporzionalità si ricava $(S(APC))/(S(AP'C))=(S(APQ))/(S(APC))$, cioè $(y-p)/(y+p)=q/(y-p)$ da cui ricavi facilmente $y$.
Ho preferito lavorare non con numeri ma con lettere ed ho indicato ordinatamente con $p,q,y$ le aree di BPM, APQ, AMC (quest'ultima è la metà dell'area cercata); P' è il simmetrico di P rispetto ad M. Poichè triangoli con base uguale ed altezza comune hanno la stessa area, valgono $p$ anche le aree di PMC e P'MC.
Il quadrilatero BPCP' ha le diagonali che si intersecano nel loro punto medio, quindi è un parallelogramma: ne consegue che BQ è parallelo a P'C e quindi i triangoli APQ e AP'C sono simili, da cui $(AP)/(AP')=(AQ)/(AC)$.
Se due triangoli hanno la stessa altezza il rapporto fra le aree è uguale a quello fra le basi, quindi $(S(APC))/(S(AP'C))=(AP)/(AP')$ e $(S(APQ))/(S(APC))=(AQ)/(AC)$.
Da queste tre proporzionalità si ricava $(S(APC))/(S(AP'C))=(S(APQ))/(S(APC))$, cioè $(y-p)/(y+p)=q/(y-p)$ da cui ricavi facilmente $y$.
Grazie xD Purtroppo però non si può usare la calcolatrice, non era un problema scolastico questo.
Allora è un po' più complicato, ma non troppo se si accetta l'ipotesi di avere un risultato intero. Usando i valori numerici forniti noto che $p, q$ sono divisibili per 4 e quindi pongo $y=4z$; semplifico e do denominatore comune. Ottengo
$(z-6)^2=11^2(z+6)$
che mostra che $z-6$ deve essere divisibile per 11. Posto allora $z-6=11z_1$ ricavo
$z_1^2=11z_1+12->z_1^2-11z_1-12=0$
e si ricavano a mente le soluzioni -1 (non accettabile) e 12 (accettabile). Calcolo ora $z$ e quindi $y$.
In alternativa, con un po' di pazienza si possono fare i calcoli a mano: l'equazione è $z^2-133z-6*115=0$, il cui discriminante è
$Delta=133^2+4*690= 17689+2760=20449$
Lo puoi pensare come 204,49*100 quindi la sua radice è compresa fra 14*10 e 15*10; poiché l'ultima cifra del discriminante è 9 le uniche radici del discriminante intere sono 143 e 147 e verifichi subito che va bene 143. Il resto è facile.
$(z-6)^2=11^2(z+6)$
che mostra che $z-6$ deve essere divisibile per 11. Posto allora $z-6=11z_1$ ricavo
$z_1^2=11z_1+12->z_1^2-11z_1-12=0$
e si ricavano a mente le soluzioni -1 (non accettabile) e 12 (accettabile). Calcolo ora $z$ e quindi $y$.
In alternativa, con un po' di pazienza si possono fare i calcoli a mano: l'equazione è $z^2-133z-6*115=0$, il cui discriminante è
$Delta=133^2+4*690= 17689+2760=20449$
Lo puoi pensare come 204,49*100 quindi la sua radice è compresa fra 14*10 e 15*10; poiché l'ultima cifra del discriminante è 9 le uniche radici del discriminante intere sono 143 e 147 e verifichi subito che va bene 143. Il resto è facile.
Grazie xD
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