Problema Triangoli isosceli

[Lady9Oscar1]

Tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza,di raggio r, qual'è quello di cui è massima la somma tra l'altezza h e il doppio della base b??

Aggiunto 51 minuti più tardi:

Grazie BIT5... ;)

Aggiunto 22 secondi più tardi:

anche a te Ciampax... ;)

[ciampax]

Considera la circonferenza di raggio

[math]r[/math]

e fissa un suo diametro

[math]AB=2r[/math]

. Il punto

[math]A[/math]

sarà il vertice del triangolo isoscele opposto alla base. Indica ora due punti

[math]C, D[/math]

di intersezione tra il diametro scelto e una qualsiasi corda perpendicolare ad esso: il triangolo

[math]ACD[/math]

risulta isoscele sulla base

[math]CD[/math]

. Indichiamo allora con

[math]x=C\hat{A}B[/math]

la metà dell'ampiezza dell'angolo al vertice di tale triangolo: gli altri due angoli (uguali) misurano allora

[math]\frac{\pi}{2}-x[/math]

. Se

[math]O[/math]

è il centro della circonferenza, allora i segmenti

[math]AO=CO=r[/math]

e quindi, detto

[math]H[/math]

l'intersezione tra le corde

[math]AB,\ CD[/math]

risulta, usando la trigonometria

[math]h=AH=AO+OH=r+r\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=r+r\cos x=r(1+\cos x)[/math]

[math]b=CD=CH+DH=2CH=2\cdot r\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2r\sin x[/math]

La funzione da massimizzare è

[math]F(x)=h+2b=r(1+\cos x+4\sin x)[/math]

La cui derivata è

[math]F'(x)=r(4\cos x-\sin x)[/math]

Tale derivata è nulla per

[math]4\cos x-\sin x=0\ \Rightarrow\ \tan x=4[/math]

e quindi per il valore dell'angolo

[math]\alpha=\arctan 4[/math]

che risulta il valore per cui hai il massimo.

Aggiunto 3 ore 33 minuti più tardi:

La mia di soluzione è un po' meno "classica" di quella di BIT, però più comoda per risolvere le derivate.

[BIT5]

Il centro della circonferenza circoscritta e' il circocentro, ovvero il punto di incontro degli assi.
L'asse relativo alla base maggiore di un triangolo isoscele e' l'altezza.
Unisci il circocentro ai vertici A e B della base e C.

Avrai dunque tre segmenti lunghi r.
Detto O il centro della circonferenza circoscritta, l'altezza come puoi vedere, e' la somma del raggio OC e dell'altezza del triangolo ABO, isoscele perche' ha due lati (AO e BO) uguali al raggio.

Posta 2x la base, avrai dunque, per il teorema di pitagora, che l'altezza di AOB e'

[math] \sqrt{r^2-x^2} [/math]

Pertanto l'altezza sara'

[math] h= \sqrt{r^2-x^2}+r [/math]

Ora la funzione di cui vogliamo trovare il massimo e' la somma di altezza e doppio della base (che abbiamo posto =2x)

[math] f(x)= \sqrt{r^2-x^2}+r+4x [/math]

Da cui derivando

[math] f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{r^2-x^2}} \cdot (-2x)+4 [/math]

ovvero

[math] f'(x)= \frac{-x}{ \sqrt{r^2-x^2}}+4 = \frac{-x+4 \sqrt{r^2-x^2}}{\sqrt{r^2-x^2}} [/math]

Il denominatore, quando esiste, e' sempre maggiore di zero

[math] r^2-x^2>0 \to xr [/math]

ma trattandosi di lunghezze geometriche, avremo semplicemente x>r

Il numeratore sara'

[math] 4 \sqrt{r^2-x^2}> x [/math]

E' una disequazione irrazionale di cui dovremo risolvere i due sistemi.

Il primo (x