Problema sull'iperbole III Liceo Scientifico
Ciao. Vorrei proporvi questo problema perché, per quanto io provi, non riesco a fare quadrare i risultati.
Probabilmente sbaglio i calcoli... non credo che il ragionamento sia sbagliato.
Ad ogni modo spero che qualcuno mi possa aiutare a capire.
Determina un punto P sull'iperbole di equazione $4x^2 - 5y^2 = 20$, in modo che sia $PF1^2$ + $PF2^2$ = $50$, essendo F1 ed F2 i fuochi dell'iperbole.
Risultato ($10/3$, $2sqrt(11)/3$) e simmetrici...
Grazie
Raffaele
Probabilmente sbaglio i calcoli... non credo che il ragionamento sia sbagliato.
Ad ogni modo spero che qualcuno mi possa aiutare a capire.
Determina un punto P sull'iperbole di equazione $4x^2 - 5y^2 = 20$, in modo che sia $PF1^2$ + $PF2^2$ = $50$, essendo F1 ed F2 i fuochi dell'iperbole.
Risultato ($10/3$, $2sqrt(11)/3$) e simmetrici...
Grazie
Raffaele
Risposte
Allego l'immagine del file creato con GeoGebra.
Raffaele
Raffaele
Ciao,
per prima cosa scriviamo l'iperbole in forma normale: \[\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\] Questo ci permette di dire che $a = sqrt(5)$ e $b = 2$. Quindi \[c = \sqrt{a^2+b^2} = 3\] Di conseguenza i fuochi sono \[F_1\left(-3,0\right) \qquad F_2\left(3,0\right)\]
Consideriamo un generico punto $P(x,y)$. Abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = \left(x+3\right)^2+y^2\] \[\overline{PF_2}^2 = \left(x-3\right)^2+y^2\] Quindi la loro somma è data da \[2x^2+18+2y^2\] Imponendo la condizione richiesta dall'esercizio abbiamo \[2x^2+18+2y^2 = 50 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Ora mettiamo questa equazione a sistema con l'equazione dell'iperbole e abbiamo finito. Ad esempio possiamo moltiplicare l'ultima per $4$ e sottrarre membro-a-membro: otteniamo \[9y^2 = 44 \quad\Rightarrow\quad y^2 = \frac{44}{9}\] la cui radice è il risultato da te proposto.
per prima cosa scriviamo l'iperbole in forma normale: \[\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\] Questo ci permette di dire che $a = sqrt(5)$ e $b = 2$. Quindi \[c = \sqrt{a^2+b^2} = 3\] Di conseguenza i fuochi sono \[F_1\left(-3,0\right) \qquad F_2\left(3,0\right)\]
Consideriamo un generico punto $P(x,y)$. Abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = \left(x+3\right)^2+y^2\] \[\overline{PF_2}^2 = \left(x-3\right)^2+y^2\] Quindi la loro somma è data da \[2x^2+18+2y^2\] Imponendo la condizione richiesta dall'esercizio abbiamo \[2x^2+18+2y^2 = 50 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Ora mettiamo questa equazione a sistema con l'equazione dell'iperbole e abbiamo finito. Ad esempio possiamo moltiplicare l'ultima per $4$ e sottrarre membro-a-membro: otteniamo \[9y^2 = 44 \quad\Rightarrow\quad y^2 = \frac{44}{9}\] la cui radice è il risultato da te proposto.
Grazie. Hai raggiunto il risultato da un altro punto di vista.
Io avevo ricavato la y dall'equazione dell'iperbole e calcolato le distanze $PF_1$ e $PF_2$; quindi, ho inserito queste ultime nella relazione data.
Niente da fare.
Forse non è un ragionamento corretto?
Mi spiace che l'immagine non sia stata caricata correttamente.
Raffaele
Io avevo ricavato la y dall'equazione dell'iperbole e calcolato le distanze $PF_1$ e $PF_2$; quindi, ho inserito queste ultime nella relazione data.
Niente da fare.
Forse non è un ragionamento corretto?
Mi spiace che l'immagine non sia stata caricata correttamente.
Raffaele
Come ragionamento mi sembra corretto anche il tuo, anche se meno agevole. Ci sarà qualche errore nei calcoli.
Ecco i calcoli corretti seguendo il tuo ragionamento.
Ricavo la $y$ dall'iperbole: \[y = \sqrt{\frac{4x^2-20}{5}}\] A questo punto abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = (x+3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] \[\overline{PF_2}^2 = (x-3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] Prendo la loro somma e la uguaglio a $50$: \[2x^2+18+\frac{8x^2-40}{5} = 50\] Divido per due e intanto spezzo la frazione: \[x^2+9+\frac{4}{5}x^2-4=25\] \[\frac{9}{5}x^2 = 20 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{100}{9}\] e di nuovo la radice porta al tuo risultato.
NOTA. Come vedi, quando ho isolato la $y$ ho evitato di mettere il $+-$ ma ho considerato solo il caso positivo. Questa "dualità" è uno dei motivi per cui questa strada non mi sembrava la migliore. Comunque con qualche attenzione si può fare ugualmente.
Ricavo la $y$ dall'iperbole: \[y = \sqrt{\frac{4x^2-20}{5}}\] A questo punto abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = (x+3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] \[\overline{PF_2}^2 = (x-3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] Prendo la loro somma e la uguaglio a $50$: \[2x^2+18+\frac{8x^2-40}{5} = 50\] Divido per due e intanto spezzo la frazione: \[x^2+9+\frac{4}{5}x^2-4=25\] \[\frac{9}{5}x^2 = 20 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{100}{9}\] e di nuovo la radice porta al tuo risultato.
NOTA. Come vedi, quando ho isolato la $y$ ho evitato di mettere il $+-$ ma ho considerato solo il caso positivo. Questa "dualità" è uno dei motivi per cui questa strada non mi sembrava la migliore. Comunque con qualche attenzione si può fare ugualmente.
Riflettendo ancora. Mi sembra che la tua relazione ovvero $PF_1^2 = ( x+3)^2 + y^2$ sia la formula della distanza? Giusto?
Tu hai usato il mio ragionamento; dove ho sbagliato?
Raffaele
Tu hai usato il mio ragionamento; dove ho sbagliato?
Raffaele
Gli approcci sono diversi perché io ho lasciato la $y$ mentre tu l'hai sostituita con quella ricavata dall'iperbole. Poi ovviamente sì: quella è la formula della distanza tra due punti. Comunque ho postato anche i calcoli corretti seguendo il tuo approccio (due post più in alto).
Grazie. Sbagliavo il calcolo.
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