Problema sull'iperbole (52323)

[zlatan26]

determinare i punti di intersezione dell'iperbole x alla seconda meno y alla seconda= 25 (x2-y2 =25) con la circonferenza avente il centro nell'origine e diametro uguale alla distanza focale

[BIT5]

Si tratta di:

Calcolare la distanza tra i due fuochi (e quindi prima i fuochi)

Attenzione pero'

L'equazione canonica dell'iperbole e'

[math] \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 [/math]

E pertanto dovremo riscrivere l'equazione dell'esercizio come

[math] \frac{x^2}{25}- \frac{y^2}{25}=1 [/math]

Ricordando che i fuochi hanno coordinate (c,0) e (-c,0) e che

[math] c^2=a^2+b^2 \to c^2=25+25=50 [/math]

E pertanto

[math] c= \sqrt{50}= 5 \sqrt2 [/math]

La distanza tra i due fuochi sara'

[math] x_{F_1}-x_{F_2}=5 \sqrt2 + 5 \sqrt2 = 10 \sqrt2 [/math]

La circonferenza di centro nell'origine ha equazione

[math] x^2+y^2=r^2 [/math]

Il diametro sara' pari alla distanza focale (come chiede l'esercizio) e quindi il raggio la sua meta' (ovvero

[math] 5 \sqrt2 [/math]

La circonferenza sara' dunque

[math]x^2+y^2=50 [/math]

E i punti di intersezione la soluzione del sistema

[math] \{x^2-y^2=25 \\ x^2+y^2=50 [/math]

Possiamo tranquillamente risolvere il sistema con il metodo di sottrazione e avremo, togliendo dalla prima equazione, la seconda:

[math] \{-2y^2=-25 \\ x^2+y^2=50 [/math]

E quindi

[math] y^2= \frac{25}{2} \to y= \pm \frac{5}{\sqrt2}= \pm \frac52 \sqrt2 [/math]

Le due x saranno (dalla seconda equazione)

[math] x^2+ \frac{25}{2}=50 \to 2x^2=75 \to x^2= \frac{75}{2} \to x= \pm \52 \sqrt3 [/math]

I calcoli li ho fatti velocemente, ma dovrebbe essere cosi'.

Comunque considera che dal momento che sia l'iperbole che la circonferenza sono simmetriche a entrambi gli assi, i 4 punti saranno tutti simmetrici.

Quindi

[math] P \( \frac52 \sqrt3 , \frac52 \sqrt2) [/math]

E gli altri 3 uguali in valore assoluto ma con i segni cambiati del tipo

(a,b) (-a,b) (-a,-b) ( a,-b)