Problema sull'iperbole (35566)

[tresi92]

determinare le intersezioni dell'iperbole di equazione x^2 - y^2/4 = 1 con le perpendicolari condotte dai suoi fuochi alle rette di equazione y= + - x

[the.track]

Calcoliamo la coordinata x dei fuochi.

[math]c=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}[/math]

I due fuochi sono di coordinate:

[math]F_1(-\sqrt{5},0)\\
F_2(\sqrt{5},0)[/math]

Calcoliamo le due 4 rette passanti per i fuochi e perpendicolari alle rette date. (Dire che sono perpendicolari è sciocco in quanto la retta y=x è perpendicolare a quella di equazione y=-x).

Imponiamo il fascio di rette:

[math]y=x+q[/math]

Sostituiamo le coordinate dei fuochi e otteniamo:

[math]q_1=\sqrt{5}\\
q_2=-\sqrt{5}[/math]

Le rette perpendicolari alla retta di equazione y=-x, e passanti rispettivamente per i due fuochi hanno equazione:

[math]y_1=x+\sqrt{5}\\
y_2=x-\sqrt{5}[/math]

Troviamo le intersezioni di queste due rette:

[math]\begin{cases}

x^2-\frac{y^2}{4}=1\\
y_1=x+\sqrt{5}
\end{cases}
[/math]

Sostituiamo:

[math]\begin{cases}

x^2-\frac{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}{4}=1\\
y_1=x+\sqrt{5}
\end{cases}
[/math]

Risolvendo la prima equazione otteniamo:

[math]x^2-\frac{x^2+5+2\sqrt{5}x}{4}=1\\
4x^2-x^2+5+2\sqrt{5}x-4=0\\
3x^2+2\sqrt{5}x+1=0\\
x_{1;2}=\frac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{5-3}}{3}\\
x_1=\frac{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\\
x_2=\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}[/math]

Sostituiamo i valori della x nell'equazione precedente:

[math]y_1=\frac{ -\sqrt{5}-\sqrt{2} } {3} +\sqrt{5}=\frac{ \sqrt{2} \left( \sqrt{10}-1 \right) } {3} \\
y_1=\frac{ -\sqrt{5}+\sqrt{2} } {3}+\sqrt{5}=\frac{ \sqrt{2} \left( \sqrt{10}+1 \right) } {3}[/math]

I punti di intersezione con la retta di equazione

[math]y=x+\sqrt{5}[/math]

sono:

[math]A\left(\frac{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3};\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}\right)\\
B\left( \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3};\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{10}+1\right)}{3}\right)[/math]

Scanso errori di calcolo (possibilissimi) il procedimento dovrebbe essere giusto. Lascio a te le altre intersezioni. Alla fine si tratta solo di calcolo.
Se hai dubbi chiedi. :)