Problema sulle differenziali
Un cono circolare retto con un'altezza di 12 pollici e un raggio di base di 3 pollici è riempito con acqua e sospeso con il vertice rivolto verso il basso. L'acqua esce da un foto praticato nel vertice a un ritmo in pollici cubici al secondo numericamente uguale all'altezza dell'acqua nel cono. Per esempio, quando l'altezza è 4 pollici, l'acqua esce alla velocità di 4 pollici cubici al secondo. Determina il tempo necessario affinché tutta l'acqua esca dal cono.
Ho pensato di considerare la velocità come la derivata temporale del volume e di esprimere il volume come 3pigreco*h(t) , indicando con h(t) l'altezza dipendente dal tempo. Quindi ho scritto 3pigreco*h'(t) = h(t) , visto che il primo membro è la derivata del volume . Otterrei un'equazione lineare differenziale ma non mi trovo...
Ho pensato di considerare la velocità come la derivata temporale del volume e di esprimere il volume come 3pigreco*h(t) , indicando con h(t) l'altezza dipendente dal tempo. Quindi ho scritto 3pigreco*h'(t) = h(t) , visto che il primo membro è la derivata del volume . Otterrei un'equazione lineare differenziale ma non mi trovo...
Risposte
Allora, prendiamo una certa altezza dell'acqua all'istante $t$, essa sarà $h(t)$, inoltre sia $H$ l'altezza del cono e $R$ il raggio del cono iniziali. All'istante $t$ il raggio del cono dell'acqua sarà $r(t)$ e sfruttando le similitudini tra triangoli si ha che $r(t)=R/H*h(t)$. Il volume all'istante $t$ è dunque: $V(t)=1/3piR^2/H^2*h^3(t)$
Consideriamo ora la velocità di deflusso dell'acqua, essa è $(dV(t))/dt=piR^2/H^2h^2(t)h'(t)$, ma questa deve essere uguale a quella data dal testo, ossia uguale al valore dell'altezza dell'acqua nell'istante $t$, e dunque:
$piR^2/H^2h^2(t)h'(t)=h(t)$
$piR^2/H^2h(t)h'(t)=1$
$h(t)h'(t)=H^2/(R^2pi)$
Intengrando ambo i membri:
$int_()^() h(t)h'(t) dt=int_()^()H^2/(R^2pi) dt$
$1/2h^2(t)=H^2/(R^2pi)t$
Ossia:
$h(t)=sqrt(2/pi)H/Rsqrt(t)$
Quindi poniamo che l'istante in cui comincia a cadere l'acqua sia $t=0$, allora l'istante $t_0$ in cui l'acqua finisce di cadere si trova integrando la precedente funzione in $dt$:
$int_(0)^(t_0) sqrt(2/pi)H/Rsqrt(t) dt=1/3piR^2H$ e dunque:
$2sqrt(2)H(t_0)^(3/2)/(3sqrt(pi)R)=1/3piR^2H$
$(t_0)^(3/2)=pi^(3/2)R^3/2^(3/2)$
$t_0=1/2piR^2$
Si noti come il tempo non dipenda dall'altezza del cono ma solo dal raggio di base!
Ciao.
Consideriamo ora la velocità di deflusso dell'acqua, essa è $(dV(t))/dt=piR^2/H^2h^2(t)h'(t)$, ma questa deve essere uguale a quella data dal testo, ossia uguale al valore dell'altezza dell'acqua nell'istante $t$, e dunque:
$piR^2/H^2h^2(t)h'(t)=h(t)$
$piR^2/H^2h(t)h'(t)=1$
$h(t)h'(t)=H^2/(R^2pi)$
Intengrando ambo i membri:
$int_()^() h(t)h'(t) dt=int_()^()H^2/(R^2pi) dt$
$1/2h^2(t)=H^2/(R^2pi)t$
Ossia:
$h(t)=sqrt(2/pi)H/Rsqrt(t)$
Quindi poniamo che l'istante in cui comincia a cadere l'acqua sia $t=0$, allora l'istante $t_0$ in cui l'acqua finisce di cadere si trova integrando la precedente funzione in $dt$:
$int_(0)^(t_0) sqrt(2/pi)H/Rsqrt(t) dt=1/3piR^2H$ e dunque:
$2sqrt(2)H(t_0)^(3/2)/(3sqrt(pi)R)=1/3piR^2H$
$(t_0)^(3/2)=pi^(3/2)R^3/2^(3/2)$
$t_0=1/2piR^2$
Si noti come il tempo non dipenda dall'altezza del cono ma solo dal raggio di base!
Ciao.
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