Problema sulle coniche
Considera la funzione y = f(x) di equazione $y = 1 - 1/2*sqrt(4x - x^2)$
a) traccia il grafico della funzione γ e individua il dominio, il codominio e i valori massimi e minimi della funzione
b) scrivi l'equazione della parabola di vertice $V(2;2)$ e passante per i due punti di γ aventi ordinata massima
c) determina l'area della parte di piano delimitata dalla parabola e da γ
d) traccia il grafico della funzione y = f[valore assoluto(x)] e determina l'area del triangolo mistilineo che tale grafico individua con l'asse x.
Soluzione proposta:
Per trovare il dominio ho imposto la condizione di esistenza della radice: $4x - x^2 ≥ 0$ ottenendo come dominio D = [0;4]. Per tracciare il grafico e quindi trovare il codominio ho avuto problemi...una volta tracciato il grafico penso di riuscire a fare il punto b). Cercavo un aiuto per poter proseguire (N.B. non ho ancora affrontato a scuola gli argomenti derivate e integrali).
Inoltre per il punto c) c'è un modo per calcolare l'area tra le due curve senza necessariamente usare gli integrali?
Ringrazio chi vorrà aiutarmi.
a) traccia il grafico della funzione γ e individua il dominio, il codominio e i valori massimi e minimi della funzione
b) scrivi l'equazione della parabola di vertice $V(2;2)$ e passante per i due punti di γ aventi ordinata massima
c) determina l'area della parte di piano delimitata dalla parabola e da γ
d) traccia il grafico della funzione y = f[valore assoluto(x)] e determina l'area del triangolo mistilineo che tale grafico individua con l'asse x.
Soluzione proposta:
Per trovare il dominio ho imposto la condizione di esistenza della radice: $4x - x^2 ≥ 0$ ottenendo come dominio D = [0;4]. Per tracciare il grafico e quindi trovare il codominio ho avuto problemi...una volta tracciato il grafico penso di riuscire a fare il punto b). Cercavo un aiuto per poter proseguire (N.B. non ho ancora affrontato a scuola gli argomenti derivate e integrali).
Inoltre per il punto c) c'è un modo per calcolare l'area tra le due curve senza necessariamente usare gli integrali?
Ringrazio chi vorrà aiutarmi.
Risposte
C'è, ma usando teoremi che probabilmente non conosci. Con qualche passaggio si trova che la curva data corrisponde a
${(y<=1),((x-2)^2/4+(y-1)^2/1=1):}$
cioè è la metà inferiore di un'ellisse traslata.
La retta $y=1$ divide la figura in due parti: quella inferiore è metà ellisse e la sua area si può calcolare sapendo che un'ellisse di semiassi $a,b$ ha area $piab$; quella superiore è delimitata da una parabola ed una retta e la sua area si può calcolare col teorema di Archimede.
${(y<=1),((x-2)^2/4+(y-1)^2/1=1):}$
cioè è la metà inferiore di un'ellisse traslata.
La retta $y=1$ divide la figura in due parti: quella inferiore è metà ellisse e la sua area si può calcolare sapendo che un'ellisse di semiassi $a,b$ ha area $piab$; quella superiore è delimitata da una parabola ed una retta e la sua area si può calcolare col teorema di Archimede.
Sul teorema di Archimede mi trovo.
Sulla prima parte della tua spiegazione un pò meno...
Sulla prima parte della tua spiegazione un pò meno...
Notiamo che si ha $4x-x^2=4-(x-2)^2$. Isolando la radice otteniamo
$y-1=-1/2sqrt(4-(x-2)^2)$
Il secondo membro è negativo o nullo, quindi deve esserlo anche il primo: da qui $y<=1$. Sapendo ora che i due membri hanno lo stesso segno, possiamo elevare a quadrato:
$(y-1)^2=4/4-(x-2)^2/4$
$(x-2)^2/4+(y-1)^2=1$
$y-1=-1/2sqrt(4-(x-2)^2)$
Il secondo membro è negativo o nullo, quindi deve esserlo anche il primo: da qui $y<=1$. Sapendo ora che i due membri hanno lo stesso segno, possiamo elevare a quadrato:
$(y-1)^2=4/4-(x-2)^2/4$
$(x-2)^2/4+(y-1)^2=1$
La situazione è quella della figura.
Per il punto c) la regione che ti interessa ha per contorno $ABCV$.
La regione $ADCV$ è un segmento parabolico che ha area
$S_(ADCV)=4/3S_(ACV)=4/3*1/2*AC*DV=2/3*4*1=8/3$.
La regione $ADCB$ è una mezza ellisse che ha area
$S_(ADCB)=1/2 pi AD*DB=1/2 pi 2*1=pi$.
Per il punto d) prova a ragionare sulla figura....
Per il punto c) la regione che ti interessa ha per contorno $ABCV$.
La regione $ADCV$ è un segmento parabolico che ha area
$S_(ADCV)=4/3S_(ACV)=4/3*1/2*AC*DV=2/3*4*1=8/3$.
La regione $ADCB$ è una mezza ellisse che ha area
$S_(ADCB)=1/2 pi AD*DB=1/2 pi 2*1=pi$.
Per il punto d) prova a ragionare sulla figura....
Ragionerò con calma e ti faccio sapere, grazie
Sei stato molto chiaro
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