Problema sulla retta

[asterix22]

Non riesco a risolvere questo problema qualcuno saprebbe darmi un imput?:
"In un parallelogramma OABC due vertici coincidono con i punti 0(0;0) e B(10;11),gli altri due vertici sono interni al primo quadrante e il lato OA è doppio del lato OC.Determinare le coordinate dei vertici A e C sapendo che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette OA e OC è 1. GRAZIE.

[_nicola de rosa]

"asterix":Non riesco a risolvere questo problema qualcuno saprebbe darmi un imput?:
"In un parallelogramma OABC due vertici coincidono con i punti 0(0;0) e B(10;11),gli altri due vertici sono interni al primo quadrante e il lato OA è doppio del lato OC.Determinare le coordinate dei vertici A e C sapendo che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette OA e OC è 1. GRAZIE.

La retta $OA$ ha equazione $y=mx$ ed $A$ coordinate generiche $(x,mx)$
La retta $OC$ ha equazione $y=x/m$ ed $C$ coordinate generiche $(x,x/m)$
La retta $AB$ ha equazione $y-11=1/m(x-10)$ cioè $y=(x-10)/m+11$. Intersecando tale retta con la retta $OA$ di equazione $y=mx$ si trovano le coordinate del punto $A$ in funzione di $m$, cioè:
$mx=(x-10)/m+11$ implica $x=(11m-10)/(m^2-1)$ per cui $A=((11m-10)/(m^2-1),m(11m-10)/(m^2-1))$
La retta $BC$ ha equazione $y-11=m(x-10)$ cioè $y=m(x-10)+11$. Intersecando tale retta con la retta $OC$ di equazione $y=x/m$ si trovano le coordinate del punto $C$ in funzione di $m$, cioè:
$x/m=(x-10)m+11$ implica $x=m(10m-11)/(m^2-1)$ per cui $C=(m(10m-11)/((m^2-1)),(10m-11)/((m^2-1)))$

Ora dall'imposizione che $OA=2OC$ cioè $OA^2=4OC^2$ si ha:
$OA^2=(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)$ ed $OC^2=(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ da cui
$OA^2=4OC^2$ comporta $(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)=4(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ e quindi
$(m^2+1)((400m^2-880m+484)/((m^2-1)^2)-(121m^2+100-220m)/((m^2-1)^2))=0$ da cui
$(m^2+1)(279m^2-660m+384)/((m^2-1)^2)=0$ cioè supponendo $m$ diverso da $+-1$ si ricava che $279m^2-660m+384=0$
$m1=(330+42)/279=4/3$ ed $m2=(330-42)/279=32/31$ . Ora il valore accettabile è $m=4/3$.
$m=32/31$ non è accettabile altrimenti il punto $C$ si troverebbe nel terzo quadrante e quindi non accettabile. Infatti dall'analisi dei punti $A$ e $C$ ci si pùo rendere conto che affinchè essi entrambi si trovino nel primo quadrante, deve aversi che $m>11/10$. Infatti $m=4/3>11/10$ e quindi accettabile, mentre $m=32/31<11/10$ e quindi non accettabile

[asterix22]

Ti ringrazio molto.

[fireball1]

"nicasamarciano":per ipotesi tali rette si trovano nel primo quadrante.

Scusa, ma come fa una retta a trovarsi in un quadrante?
Forse volevi dire che entrambe giacciono nel primo e terzo quadrante...

[laura.todisco]

A me i coefficienti angolari vengono $3/4$ e $4/3$.

[laura.todisco]

Io ho ragionato così:
ho considerato le due rette:
$r:y=ax$ e $s:y=1/ax$

Poi ho determinato le rette per B e parallele rispettivamente ad r e ad s; poi ho determinato A come intersezione di r con la retta per B parallela ad s e analogamente ho ricavato C. Infine ho applicato la condizione che OA fosse doppio di OC ed ho ricavato il parametro $a$. I calcoli così vengono più abbordabili.

[_nicola de rosa]

"laura.todisco":Io ho ragionato così:
ho considerato le due rette:
$r:y=ax$ e $s:y=1/ax$

Poi ho determinato le rette per B e parallele rispettivamente ad r e ad s; poi ho determinato A come intersezione di r con la retta per B parallela ad s e analogamente ho ricavato C. Infine ho applicato la condizione che OA fosse doppio di OC ed ho ricavato il parametro $a$. I calcoli così vengono più abbordabili.

Ho fatto pure io in modo analogo.
Ho fatto un errore, mi trovo come te

[laura.todisco]

Il tuo primo metodo era troppo laborioso nei calcoli; avevo iniziato pure io così, ma appena vedo che mi vengono calcoli del genere, solitamente mi viene la nausea e cerco una via più elegante, oddio, ci provo