Problema sulla parabola in vista dell'esame di stato
sono nuovo del forum e ringrazio in anticipo chi può darmi una mano (non vi chiedo di svolgermi l'esercizio, ma di darmi un imput per farlo da solo) 
il problema è questo:
determina a, b, c della parabola y=ax^2+bx+c, con a>0, in modo che essa sia tangente alle rette y=x e y=(1/2)x e la corda che congiunge i punti di contatto sia lunga 5/2.
il problema è questo:
determina a, b, c della parabola y=ax^2+bx+c, con a>0, in modo che essa sia tangente alle rette y=x e y=(1/2)x e la corda che congiunge i punti di contatto sia lunga 5/2.
Risposte
ho appena letto come si scrivono le formule su questo forum, per essere piu chiaro riscrivo tutto:
determina a, b, c della parabola y=a$x^2$+bx+c, con a>0, in modo che essa sia tangente alle rette y=x e y=$1/2$x e la corda che congiunge i punti di contatto sia lunga $5/2$.
determina a, b, c della parabola y=a$x^2$+bx+c, con a>0, in modo che essa sia tangente alle rette y=x e y=$1/2$x e la corda che congiunge i punti di contatto sia lunga $5/2$.
Qualche input
la parabola è tangente alle rette che hai scritto, dovresti sfruttare la condizione di tangenza.... quindi fare il sistema tra la parabola e la prima retta sfruttare il delta uguale a zero.. fare lo stesso con l'altra retta... trovi i punti di contatto sapendo che appartengono alle rette...
sicuramente qualcun altro avrà un 'idea diversa....
spero che ti possa essere d'aiuto il mio suggerimento
la parabola è tangente alle rette che hai scritto, dovresti sfruttare la condizione di tangenza.... quindi fare il sistema tra la parabola e la prima retta sfruttare il delta uguale a zero.. fare lo stesso con l'altra retta... trovi i punti di contatto sapendo che appartengono alle rette...
sicuramente qualcun altro avrà un 'idea diversa....
spero che ti possa essere d'aiuto il mio suggerimento
Io sfrutterei esattamente come roxy la condizione di tangenza (delta uguale a 0) e per trovare i punti di contatto userei la derivata, quindi la formula di sdoppiamento:
$1=2ax_1+b$ quindi $x_1=(1-b)/(2a)$
$1/2=2ax_2+b$ quindi $x_2=(1-2b)/(4a)$
Con le ascisse dei punti di tangenza ti trovi le ordinate, dato che i punti appartengono alle rette. In questo modo puoi determinare la corda assegnata e avere la terza condizione del sistema, che risolto, ti da $a$, $b$ e $c$.
$1=2ax_1+b$ quindi $x_1=(1-b)/(2a)$
$1/2=2ax_2+b$ quindi $x_2=(1-2b)/(4a)$
Con le ascisse dei punti di tangenza ti trovi le ordinate, dato che i punti appartengono alle rette. In questo modo puoi determinare la corda assegnata e avere la terza condizione del sistema, che risolto, ti da $a$, $b$ e $c$.
grazie per il vostro aiuto... adesso provo a risolvere il problema, tuttavia non ho ben chiaro cosa sia la formula di sdoppiamento 
La formula di sdoppiamento è:
$m=2ax_0+b$
e ti fornisce il coefficiente angolare della tangente in un punto della parabola. Ora ti sarà chiaro che altro non si tratta che della derivata della funzione "parabola" nel suo punto $x_0$, cioè il coeff. angolare della tangente.
$m=2ax_0+b$
e ti fornisce il coefficiente angolare della tangente in un punto della parabola. Ora ti sarà chiaro che altro non si tratta che della derivata della funzione "parabola" nel suo punto $x_0$, cioè il coeff. angolare della tangente.
ok finora tutto chiaro, ma non so da dove iniziare...
metto a sistema $y=ax^2+bx+c $ e una delle due rette e poi?
metto a sistema $y=ax^2+bx+c $ e una delle due rette e poi?
Imponi la condizione di tangenza...ad esempio leghi a sistema
$y=ax^2+bx+c$
$y=x$
$x=ax^2+bx+c$
$ax^2+x(b-1)+c=0$
Ora $Delta=0$, $(b-1)^2-4ac=0$ è una condizione...ripeti con l'altra retta e trovi la seconda condizione.
$y=ax^2+bx+c$
$y=x$
$x=ax^2+bx+c$
$ax^2+x(b-1)+c=0$
Ora $Delta=0$, $(b-1)^2-4ac=0$ è una condizione...ripeti con l'altra retta e trovi la seconda condizione.
Metti a sistema:
$y=ax^2+bx+c=0$, $y=x$
da cui avrai
$ax^2+(b-1)x+c=0$ condizione di tangenza delta uguale a zero e avrai $(b-1)^2-4ac=0$... fai lo stesso con l'altra retta e come ti ha detto oronte83 usi la derivata per trovare i punti di tangenza (vedi che l'ha scritto) fai la distanza tra questi due punti che sai vale $5/2$ e metti a sistema quest'ultima eq con le altre due.. da cui ti troverai $a,b,c$...
Spero ti sia più chiaro.
$y=ax^2+bx+c=0$, $y=x$
da cui avrai
$ax^2+(b-1)x+c=0$ condizione di tangenza delta uguale a zero e avrai $(b-1)^2-4ac=0$... fai lo stesso con l'altra retta e come ti ha detto oronte83 usi la derivata per trovare i punti di tangenza (vedi che l'ha scritto) fai la distanza tra questi due punti che sai vale $5/2$ e metti a sistema quest'ultima eq con le altre due.. da cui ti troverai $a,b,c$...
Spero ti sia più chiaro.
scusa oronte83..
non mi sono accorta che hai risposto , presa dalle formule
non mi sono accorta che hai risposto , presa dalle formule
si va bene ma dopo che ho messo ha sistema le due equazioni delle rette con l'eq. della parabola ottengo $b^2+1-2b-4ac=0$ e $b^2+1/4-b-4ac$ che non so come utilizzare assieme alla formula di sdoppiamento... AIUTO!!!
Allora i due punti, usando la formula, avranno coordinate:
$A((1-b)/(2a),(1-b)/(2a))$ e $B((1-2b)/(4a), (1-2b)/(8a))$.
Ti ho fatto vedere come ricavare questi valori dallo sdoppiamento/derivata.
Ora imponi $AB=5/2$, che ti fornisce la terza condizione del sistema, da usare insieme alle due che hai trovato.
$A((1-b)/(2a),(1-b)/(2a))$ e $B((1-2b)/(4a), (1-2b)/(8a))$.
Ti ho fatto vedere come ricavare questi valori dallo sdoppiamento/derivata.
Ora imponi $AB=5/2$, che ti fornisce la terza condizione del sistema, da usare insieme alle due che hai trovato.
grazie oronte, il tuo aiuto mi è stato molto utile (scusa se sono un po tardo a capire) 
... sono molto soddisfatto di essermi iscritto a questo forum!!!:D
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