Problema sulla parabola (214395)

[marshmallow1900]

Trova la retta tangente alla parabola di equazione y=x^2+4x+4, parallela alla retta di equazione y-2x=0. Indicati con T il punto di tangenza, con V il vertice della parabola e con A il punto d'incontro della retta tangente con l'asse delle x, calcola l''area del triangolo AVT.

Grazie tante a chi lo risolve!

[GiovanniPalama]

Ciao, di seguito la soluzione al tuo esercizio.

1) TROVARE LA RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA

L'equazione di una generica retta (espressa in termini di coefficiente angolare e pendenza/termine noto) è la seguente:

[math]y=mx+q[/math]

Siccome la retta che dobbiamo trovare è parallela alla retta di equazione:

[math]y=2x[/math]

(in questo caso m=0; q=0)
e siccome sono entrambe parallele, allora avranno lo stesso coefficiente angolare:
m1=m2=2.

Ne consegue che la nostra retta tangente sarà nella forma:

[math]y=2x+q[/math]

Adesso, per trovare il nostro q, dobbiamo mettere a sistema la parabola con l'equazione appena trovata:

[math]\begin{cases}y=x^2+4x+4 \\ y=2x+q \end{cases}[/math]

Risolviamo il sistema per confronto ed otteniamo:

[math]x^2+4x+4=2x+q[/math]

=>

[math]x^2+2x+4-q=0[/math]

Ora dobbiamo calcolarci il nostro delta D ed imporlo uguale a 0:

[math]D=b^2-4ac = 4-4(4-q) = -12+4q[/math]

=>

[math]D=0 -12+4q=0[/math]

Segue che

[math]q=3[/math]

e quindi l'equazione della nostra retta tangente sarà data da:

[math]y=2x+3[/math]

Aggiunto 23 minuti più tardi:

2)TROVARE IL PUNTO DI TANGENZA T, IL VERTICE DELLA PARABOLA V ED IL PUNTO IN CUI LA TANGENTE INCONTRA L'ASSE DELLE X

Per trovare il punto di tangenza T basta la retta è tangente alla parabola nel punto di coordinate

[math]T(3;9)[/math]

Il vertice V della parabola invece è dato dal punto

[math]V(-2;0)[/math]

Il punto A in cui la tangente incontra l'asse delle x si trova scrivendo imponendo che

[math]y=0[/math]

, cioè scrivendo che:

[math]2x+3=0[/math]

=>

[math]x=-3/2[/math]

Segue che il punto A avrà coordinate:

[math]A(-3/2; 0)[/math]

3)CALCOLO DELL'AREA


Ora per calcolare l'area del triangolo devi:

-)calcolare la lunghezza dei due cateti

[math]\overline{VA}[/math]

ed

[math]\overline{AT}[/math]

calcolandola con la formula della distanza tra due punti:

[math]d(V;A)=\sqrt{(X_A-X_V)^2+(Y_A-Y_V)^2}[/math]

La stessa cosa devi fare per calcolare la lunghezza del cateto

[math]\overline{AT}[/math]

.


Una volta fatto questo calcoli la lunghezza dell'ipotenusa

[math]\overline{VT}[/math]

con la formula del teorema di pitagora ed infine ti calcoli l'altezza.


Fatto questo, applichi la formula del calcolo dell'area di un triangolo ed il gioco è fatto.


Spero di esserti stato d'aiuto :)

[bimbozza]

Nel punto 2 di giovanni c'è un errore. Il punto di tangenza lo trovi risolvendo il sistema impostato nel punto 1, andando a sostituire a q il valore 3 che ha correttamente trovato.
Ne segue che il punto T è (-1,1).

Il punto 3 è invece completamente sbagliato.
Il triangolo trovato NON è rettangolo, quindi non si parla di cateti o di ipotenusa e non è possibilie applicare il teorema di Pitagora.
Con la formula della distanza tra due punti ti calcoli la lunghezza della base AV, mentre con la formula della distanza tra un punto e una retta ti calcoli la distanza tra il punto T e la retta y=0 in modo da trovare l'altezza del triangolo. A questo punto hai base ed altezza di un triangolo, quindi hai tutto ciò che ti serve per calcolare l'area di un triangolo.