Problema sulla definizione di limite
Come mai se \( \lim_{x\to c^{-}}{f(x)}=-{\infty}{\wedge}\lim_{x\to c^{+}}{f(x)}=+{\infty}{\Longleftrightarrow}\lim_{x\to c}{f(x)}={\infty} \) ???? Ma se il limite destro e il limite sinistro sono diversi non esiste il limite!!!!!! Qualcuno mi sa spiegare questo che per me è un mistero? Grazie.
Risposte
Puoi dire che entrambi i limiti divergono all'infinito, senza specificare da che parte.
Ma il \( \lim_{x\to c}{f(x)} \) esiste o non esiste?? E se non esiste allora perchè si scrive: \( \lim_{x\to c}{f(x)} ={\infty}\) ??? Non mi sembra un problema di poco conto.
Ciao 
Non esiste.
Scrivere $lim_(x->c) f(x) = \infty$ è un modo veloce per scrivere che $lim_(x->c^(\pm)) f(x) = \pm \infty$, come dice minomic:
Ciao
"fabrizio19208":
Ma il \( \lim_{x\to c}{f(x)} \) esiste o non esiste?? E se non esiste allora perchè si scrive: \( \lim_{x\to c}{f(x)} ={\infty}\) ??? Non mi sembra un problema di poco conto.
Non esiste.
Scrivere $lim_(x->c) f(x) = \infty$ è un modo veloce per scrivere che $lim_(x->c^(\pm)) f(x) = \pm \infty$, come dice minomic:
"minomic":
Puoi dire che entrambi i limiti divergono all'infinito, senza specificare da che parte.
Ciao
Potreste darmi una spiegazione più esaustiva? l'introduzione di infinito porta ad una grande confusione!
Quando si introducono i limiti la retta reale deve essere ampliata per poter usare l'infinito.
Per ampliarla ci sono due diverse possibilità:
1) si introducono due punti, uno più piccolo di tutti i numeri reali che chiameremo $-oo$, e uno maggiore di tutti i numeri reali che indicheremo con $+oo$, in questo modo non si perdono le possibilità di ordinamento anche con gli infiniti, però il
$lim_(x->0) 1/x$, e tutti i limiti simili a questo, non esistono. Esisteranno il limite destro e quello sinistro, ma non il limite;
2) oppure si amplia la retta reale con un solo punto $oo$, in questo caso il limite $lim_(x->0) 1/x$ esiste e vale $oo$, come pure tutti quelli ad esso simili, ma c'è il problema della perdita dell'ordinamento perchè il valore più grande di tutti "$+oo$" e quello più piccolo"$-oo$" coincideranno.
Alcuni autori preferiscono la prima possibilità, altri preferiscono la seconda, altri ancora non si schierano e creano l'ambiguità di cui anche tu sei stato vittima.
Per ampliarla ci sono due diverse possibilità:
1) si introducono due punti, uno più piccolo di tutti i numeri reali che chiameremo $-oo$, e uno maggiore di tutti i numeri reali che indicheremo con $+oo$, in questo modo non si perdono le possibilità di ordinamento anche con gli infiniti, però il
$lim_(x->0) 1/x$, e tutti i limiti simili a questo, non esistono. Esisteranno il limite destro e quello sinistro, ma non il limite;
2) oppure si amplia la retta reale con un solo punto $oo$, in questo caso il limite $lim_(x->0) 1/x$ esiste e vale $oo$, come pure tutti quelli ad esso simili, ma c'è il problema della perdita dell'ordinamento perchè il valore più grande di tutti "$+oo$" e quello più piccolo"$-oo$" coincideranno.
Alcuni autori preferiscono la prima possibilità, altri preferiscono la seconda, altri ancora non si schierano e creano l'ambiguità di cui anche tu sei stato vittima.
"@melia":
Quando si introducono i limiti la retta reale deve essere ampliata per poter usare l'infinito.
Per ampliarla ci sono due diverse possibilità:
1) si introducono due punti, uno più piccolo di tutti i numeri reali che chiameremo $-oo$, e uno maggiore di tutti i numeri reali che indicheremo con $+oo$, in questo modo non si perdono le possibilità di ordinamento anche con gli infiniti, però il
$lim_(x->0) 1/x$, e tutti i limiti simili a questo, non esistono. Esisteranno il limite destro e quello sinistro, ma non il limite;
2) oppure si amplia la retta reale con un solo punto $oo$, in questo caso il limite $lim_(x->0) 1/x$ esiste e vale $oo$, come pure tutti quelli ad esso simili, ma c'è il problema della perdita dell'ordinamento perchè il valore più grande di tutti "$+oo$" e quello più piccolo"$-oo$" coincideranno.
Alcuni autori preferiscono la prima possibilità, altri preferiscono la seconda, altri ancora non si schierano e creano l'ambiguità di cui anche tu sei stato vittima.
Graize della sua gentile risposta. Un'ultima precisazione, nel secondo caso: non esiste quindi +infinito e -infinito ma solo infinito? oppure sbaglio ancora in qualcosa? Quindi non ci sarà più un limite che vale +infinito oppure un limite che vale -infinito!!! Che confusione!!!
Grazie ancora
Nel secondo caso $+oo$ e $-oo$ sono solo gli intorni destro e sinistro di $oo$.
"@melia":
Nel secondo caso $+oo$ e $-oo$ sono solo gli intorni destro e sinistro di $oo$.
Quindi nel secondo caso abbiamo $+oo$, $-oo$ e $oo$ oppure no? Mistero.!!!!
Il teorema che afferma: \( \lim_{x\to c^{-}}{f(x)}= l_{1} {\wedge}\lim_{x\to c^{+}}{f(x)}=l_{2}\) con \( l_{1}\) diverso da \(l_{2}\) allora non esiste il \(lm_{x\to c}{f(x)}\) non esiste il limite vale anche nel caso in cui \( l_{1}=\)$+oo$ \({\wedge} l_{2}=\)$-oo$ ????
Mi sa che sto facendo una confusione enorme!
Nel secondo caso l'intorno destro di $oo$ anziché indicarlo con $oo^+$ lo indichi con $+oo$, ma quel $+oo$ non è un punto, bensì solo l'intorno destro di $oo$.
Ovviamente non posso rispondere alla tua domanda perché la risposta richiede di sapere se hai scelto il primo ampliamento di $RR$ o il secondo.
Ovviamente non posso rispondere alla tua domanda perché la risposta richiede di sapere se hai scelto il primo ampliamento di $RR$ o il secondo.
"@melia":
Nel secondo caso l'intorno destro di $oo$ anziché indicarlo con $oo^+$ lo indichi con $+oo$, ma quel $+oo$ non è un punto, bensì solo l'intorno destro di $oo$.
Ovviamente non posso rispondere alla tua domanda perché la risposta richiede di sapere se hai scelto il primo ampliamento di $RR$ o il secondo.
La mia domanda è sempre la stessa: se \( \lim_{x\to c^{-}}{f(x)}=-{\infty}{\wedge}\lim_{x\to c^{+}}{f(x)}=+{\infty}{\Longleftrightarrow}\lim_{x\to c}{f(x)}={\infty} \) quindi esiste il limite per \(x\to c^{-}\) e vale $-oo$? esiste il limite per \(x\to c^{+}\) e vale $+oo$? e la domanda decisiva: esiste il \( \lim_{x\to c}{f(x)}={\infty}\)???? Mistero (anche perchè sul libro porta così)! Sul libro non fa nessuna scelta del tipo $+oo$ e $-oo$ oppure solo $oo$ ma li mette tutti assieme indifferentemente!
Il libro la sua scelta l'ha fatta anche se non lo ha detto in maniera esplicita. A seconda della risposta puoi dedurre la scelta.
"@melia":
Il libro la sua scelta l'ha fatta anche se non lo ha detto in maniera esplicita. A seconda della risposta puoi dedurre la scelta.
quindi secondo me il libro ha una risposta variabile, visto che fa uso di $+oo$, $-oo$ e $oo$!!!!!! Non mi sembra molto scientifico questo modo di procedere!
Secondo me la questione è abbastanza semplice. Se io dico
\[
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \to \infty
\] intendo dire che quando la $x$ si avvicina a $0$ (da qualunque parte) il valore della funzione diventa infinito. Più o meno infinito non lo specifico. Dico solo che diventa infinitamente grande in valore assoluto. Poi se voglio essere più preciso posso specificare cosa succede quando ci si avvicina a $0$ da sinistra o da destra, ma questa scrittura è già sufficiente per descrivere il comportamento della funzione.
Questo vuol dire che il limite esiste? Boh... Chi lo sa? Dipende dalla definizione che vogliamo prendere. Ma soprattutto... a chi importa? Siamo riusciti a descrivere correttamente il comportamento della funzione, e questo mi sembra sufficiente!
\[
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \to \infty
\] intendo dire che quando la $x$ si avvicina a $0$ (da qualunque parte) il valore della funzione diventa infinito. Più o meno infinito non lo specifico. Dico solo che diventa infinitamente grande in valore assoluto. Poi se voglio essere più preciso posso specificare cosa succede quando ci si avvicina a $0$ da sinistra o da destra, ma questa scrittura è già sufficiente per descrivere il comportamento della funzione.
Questo vuol dire che il limite esiste? Boh... Chi lo sa? Dipende dalla definizione che vogliamo prendere. Ma soprattutto... a chi importa? Siamo riusciti a descrivere correttamente il comportamento della funzione, e questo mi sembra sufficiente!
"minomic":
Secondo me la questione è abbastanza semplice. Se io dico
\[
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \to \infty
\] intendo dire che quando la $x$ si avvicina a $0$ (da qualunque parte) il valore della funzione diventa infinito. Più o meno infinito non lo specifico. Dico solo che diventa infinitamente grande in valore assoluto. Poi se voglio essere più preciso posso specificare cosa succede quando ci si avvicina a $0$ da sinistra o da destra, ma questa scrittura è già sufficiente per descrivere il comportamento della funzione.
Questo vuol dire che il limite esiste? Boh... Chi lo sa? Dipende dalla definizione che vogliamo prendere. Ma soprattutto... a chi importa? Siamo riusciti a descrivere correttamente il comportamento della funzione, e questo mi sembra sufficiente!
Quindi questo vuol dire che se il limite per \(x\to c^{-}\) e vale $-oo$ e il limite per \(x\to c^{+}\) e vale $+oo$ allora esiste il limite \( \lim_{x\to c}{f(x)}={\infty}\) in contraddizione con il fatto che se il limite destro e quello sinistro sono diversi tra di loro non esiste il limite!
Io non ho detto che il limite esiste... Ho detto che possiamo metterci un $oo$ senza segno e passare oltre. Se seguiamo la regola strettamente allora non esiste, ma questo non ci impedisce di mettere $oo$ ed essere felici.
Dopotutto questa è una discussione abbastanza filosofica! Esiste o non esiste? Non mi interessa... Mi interessa essere in grado di descrivere come si comporta la funzione quando la $x$ si avvicina ad un dato valore.
Dopotutto questa è una discussione abbastanza filosofica! Esiste o non esiste? Non mi interessa... Mi interessa essere in grado di descrivere come si comporta la funzione quando la $x$ si avvicina ad un dato valore.
quindi il teorema che dice che se il limite detro è diverso dal limite sinistro allora non esiste il limite vale anche nel caso in cui il primo limite è $+oo$ e il secondo vale $-oo$, oppure vale solo per valori del limite finiti?
Se il limite destro è diverso dal sinistro il limite non esiste. IMHO.
Quando mi trovo una notazione simile $lim_(x->c) f(x)=infty$, la prendo come una "descrizione" del comportamento della funzione in quel punto e nient'altro.
@melia ha spiegato molto bene la situazione ma volendo essere pignoli (e tornare indietro negli anni ...
) anche queste notazioni $lim_(x->c) f(x)=+-infty$ non "definiscono" un limite ma "solo" che la funzione diverge all'infinito (come detto da minomic).
Sempre a mio parere ...
Cordialmente, Alex
Quando mi trovo una notazione simile $lim_(x->c) f(x)=infty$, la prendo come una "descrizione" del comportamento della funzione in quel punto e nient'altro.
@melia ha spiegato molto bene la situazione ma volendo essere pignoli (e tornare indietro negli anni ...
) anche queste notazioni $lim_(x->c) f(x)=+-infty$ non "definiscono" un limite ma "solo" che la funzione diverge all'infinito (come detto da minomic).Sempre a mio parere ...
Cordialmente, Alex
Grazie a tutti dei vostri consigli ed osservazioni. Devo proprio dire che a questo punto credo di avere capito molte cose che prima mi erano sconosciute. Grazie a tutti voi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo