Problema sulla condizione di perpedicolarità di due rette
Salve,
la traccia è:
La mia idea è quella di risolvere il sistema di equazioni parametriche per trovare le coordinate parametriche del punto di intersezione. E, vabbè, l'ho risolto col metodo di Cramer... per farla breve viene fuori:
$\{(x=-4k-7), (y=-8k-10):}$
Quindi, per trovare il luogo geometrico descritto dal punto di intersezione, pongo:
$x=-4k-7$
E plastilina:
$y=-8k-10$
Risolvo la prima equazione per $k$:
$4k=-x-7$
$k=-(x+7)/4$
Sostituisco $k$ nella seconda equazione:
$y=-8(-(x+7)/4)-10=2(x+7)-10=2x+14-10=2x+4$
Quindi ho le equazioni delle due rette in forma implicita:
$2x-y+4=0$
$2x+4y-3=0$
Sono perpedincolari (sic) perché:
$2*2+(-1)*4=0$
$4-4=0$
Credo sia questo il procedimento, giusto?
la traccia è:
Dopo aver scritto l'equazione del luogo descritto, al variare di $k$, dal punto di intersezione delle due rette parametriche:
$(2k+3)x-(k+2)y+1=0$
$(2k+1)x-(k+1)y-3=0$
Verificare che si tratta dell'equazione di una retta perpedincolare (sic) alla retta di equazione $2x+4y-3=0$.
La mia idea è quella di risolvere il sistema di equazioni parametriche per trovare le coordinate parametriche del punto di intersezione. E, vabbè, l'ho risolto col metodo di Cramer... per farla breve viene fuori:
$\{(x=-4k-7), (y=-8k-10):}$
Quindi, per trovare il luogo geometrico descritto dal punto di intersezione, pongo:
$x=-4k-7$
E plastilina:
$y=-8k-10$
Risolvo la prima equazione per $k$:
$4k=-x-7$
$k=-(x+7)/4$
Sostituisco $k$ nella seconda equazione:
$y=-8(-(x+7)/4)-10=2(x+7)-10=2x+14-10=2x+4$
Quindi ho le equazioni delle due rette in forma implicita:
$2x-y+4=0$
$2x+4y-3=0$
Sono perpedincolari (sic) perché:
$2*2+(-1)*4=0$
$4-4=0$
Credo sia questo il procedimento, giusto?
Risposte
Il problema ti fornisce gia' la soluzione (ossia perpendicolare a ...) e ti chiede solo di verificarla, quindi quasi sicuramente quello che hai fatto e' corretto ed infatti e' cosi'.
Pero' potrebbe esserci una soluzione piu' breve o piu' elegante.
Ad es. sai che in un sistema puoi sottrarre le equazioni, o moltiplicarle per un coefficiente e poi sommarle.
Se le sottrai cosa succede ?
Pero' potrebbe esserci una soluzione piu' breve o piu' elegante.
Ad es. sai che in un sistema puoi sottrarre le equazioni, o moltiplicarle per un coefficiente e poi sommarle.
Se le sottrai cosa succede ?
Se non sbaglio si ottiene una equazione equivalente a quelle del sistema.
$2x-(2k+3)y+4=0$
Si tratta di una combinazione lineare, giusto? So solo che sostituendola ad una delle due equazioni ottengo un sistema equivalente a quello dato.
Ora, se qui pongo $k=-1$ ottengo subito l'equazione del luogo. Vedo che funziona anche per gli altri esercizi, ma non riesco ad afferrarne la ragione, però.
$2x-(2k+3)y+4=0$
Si tratta di una combinazione lineare, giusto? So solo che sostituendola ad una delle due equazioni ottengo un sistema equivalente a quello dato.
Ora, se qui pongo $k=-1$ ottengo subito l'equazione del luogo. Vedo che funziona anche per gli altri esercizi, ma non riesco ad afferrarne la ragione, però.
$ (2k+3)x-(k+2)y+1=0 $
$ (2k+1)x-(k+1)y-3=0 $
Se sottrai le due equazioni ottieni direttamente
$2x-y+4=0$
Funziona perche' sei riuscito a "liberarti" di $k$ quindi quella retta vale per tutti i $k$ che e' quello che stai cercando.
$ (2k+1)x-(k+1)y-3=0 $
Se sottrai le due equazioni ottieni direttamente
$2x-y+4=0$
Funziona perche' sei riuscito a "liberarti" di $k$ quindi quella retta vale per tutti i $k$ che e' quello che stai cercando.
Instant karma. Sì, hai ragione. Grazie, immaginavo ci fosse una soluzione migliore.
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