Problema sulla circonferenza(Difficile)
Come devo fare a risolverlo???
Scrivere l'equazione della circonferenza che stacca sull'asse x il segmento AB di misura 8 e che è tangente alla retta 3x-4y-7=0 nel suo punto C di ascissa x=1. Si troveranno due circonferenze che risolvono il problema; si consideri solo quella il cui centro ha coordinate intere e su di essa si determini, nel secondo quadrante, un punto M in modo che sia verificata la relazione MA(quadro)+MB(quadro)= 148. Verificare che il quadrilatero AMBC ha due angoli retti.
Scrivere l'equazione della circonferenza che stacca sull'asse x il segmento AB di misura 8 e che è tangente alla retta 3x-4y-7=0 nel suo punto C di ascissa x=1. Si troveranno due circonferenze che risolvono il problema; si consideri solo quella il cui centro ha coordinate intere e su di essa si determini, nel secondo quadrante, un punto M in modo che sia verificata la relazione MA(quadro)+MB(quadro)= 148. Verificare che il quadrilatero AMBC ha due angoli retti.
Risposte
Sappiamo che la circonferenza in questione passa per il punto (1,-1).
Considera dunque una circonferenza generica
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
e sostituisci il punto che abbiamo (me lo sono ricavato sostituendo l'ascissa 1 nella retta, dato che esso appartiene anche a lei), e ottieni:
$1+1+a-b+c=0$
$2+a-b+c=0$
esplicita rispetto a una lettera a caso, mettiamo c, e ottieni
$c=b-a-2$
Quindi ora abbiamo ricavato una relazione tra i tre parametri che ci servono per giungere all'equazione della circonferenza.
Adesso sostituisci la c nell'equazione generale che ho messo sopra.
Dpodiche imponi che questa nuova equazione (fascio di circonferenza con 2 parametri) sia tangente alla retta, mettendo a sistema e annullando il discriminante dell'equazione risolvente.
A questo punto trovi una seconda relazione tra i parametri, e esplicita rispetto a un'altra lettera, e sostituisci come prima.
Ora avrai un fascio di cirocnferenza con un parametro, e usa l'ultimo dato: interseca esso con l'asse delle ascisse e poni che le due soluzioni distino 8.
Chiaro? Ciao
Considera dunque una circonferenza generica
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
e sostituisci il punto che abbiamo (me lo sono ricavato sostituendo l'ascissa 1 nella retta, dato che esso appartiene anche a lei), e ottieni:
$1+1+a-b+c=0$
$2+a-b+c=0$
esplicita rispetto a una lettera a caso, mettiamo c, e ottieni
$c=b-a-2$
Quindi ora abbiamo ricavato una relazione tra i tre parametri che ci servono per giungere all'equazione della circonferenza.
Adesso sostituisci la c nell'equazione generale che ho messo sopra.
Dpodiche imponi che questa nuova equazione (fascio di circonferenza con 2 parametri) sia tangente alla retta, mettendo a sistema e annullando il discriminante dell'equazione risolvente.
A questo punto trovi una seconda relazione tra i parametri, e esplicita rispetto a un'altra lettera, e sostituisci come prima.
Ora avrai un fascio di cirocnferenza con un parametro, e usa l'ultimo dato: interseca esso con l'asse delle ascisse e poni che le due soluzioni distino 8.
Chiaro? Ciao
Vedo di fornirti qualche suggerimento. (Speriamo buono!)
Equazione circonferenza
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$
Per trovare l'equazione della circonferenza le tue incognite sono $a$, $b$ e $c$
Quindi devi formulare 3 equazioni da mettere a sistema
1)
Per $y = 0$ hai $(x2 - x1) = 8$
$x^2 + ax + c = 0$
dove
$x1 = (-a - sqrt(a^2 - 4c)) / 2$
$x2 = (-a + sqrt(a^2 - 4c)) / 2$
quindi
$sqrt(a^2 - 4c) = 8$
2)
il punto $P(x, y)$ appartenente alla retta si trova sulla circonferenza, essendo la retta tangente.
per $x = 1$ hai $y = 1$
quindi
$a + b + c = -2$
3)
il punto $P(1, 1)$ dista $r$ dal centro
applichi la formula della distanza sapendo che il centro $C$ ha cordinate $-a/2$ e $-b/2$ mentre il raggio è $r = sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$
Equazione circonferenza
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$
Per trovare l'equazione della circonferenza le tue incognite sono $a$, $b$ e $c$
Quindi devi formulare 3 equazioni da mettere a sistema
1)
Per $y = 0$ hai $(x2 - x1) = 8$
$x^2 + ax + c = 0$
dove
$x1 = (-a - sqrt(a^2 - 4c)) / 2$
$x2 = (-a + sqrt(a^2 - 4c)) / 2$
quindi
$sqrt(a^2 - 4c) = 8$
2)
il punto $P(x, y)$ appartenente alla retta si trova sulla circonferenza, essendo la retta tangente.
per $x = 1$ hai $y = 1$
quindi
$a + b + c = -2$
3)
il punto $P(1, 1)$ dista $r$ dal centro
applichi la formula della distanza sapendo che il centro $C$ ha cordinate $-a/2$ e $-b/2$ mentre il raggio è $r = sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$
opssss.... ciao steven non avevo visto la tua risposta che tra l'altro mi ha fatto vedere un errore che correggo....
Visto che sei in tema ed io ho un pochino di ruggine, secondo te, potrebbe andare un'ipostazione simile ?
Ciao Eugenio, concordo con la tua impostazione eccetto con l'ultima relazione.
$r = sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$
Non mi sembra che possa essere utile, dato che non abbiamo il raggio della corconferenza.
Sempre che non mi sfugga qualcosa, magari si può ricavare in qualche modo..
E poi il punto P a me viene (1,-1), con ordinata negativa.
Speriamo solo che Claudiebam abbia capito.
Ciao, alla prossima. Bellanotte.
$r = sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$
Non mi sembra che possa essere utile, dato che non abbiamo il raggio della corconferenza.
Sempre che non mi sfugga qualcosa, magari si può ricavare in qualche modo..
E poi il punto P a me viene (1,-1), con ordinata negativa.
Speriamo solo che Claudiebam abbia capito.
Ciao, alla prossima. Bellanotte.
"+Steven+":
Ciao Eugenio, concordo con la tua impostazione eccetto con l'ultima relazione.
$r = sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$
Non mi sembra che possa essere utile, dato che non abbiamo il raggio della corconferenza.
Sempre che non mi sfugga qualcosa, magari si può ricavare in qualche modo..
E poi il punto P a me viene (1,-1), con ordinata negativa.
Speriamo solo che Claudiebam abbia capito.
Ciao, alla prossima. Bellanotte.
Attenzione, a me il punto continua a venire $(1, 1)$
$3 - 4y - 7 = 0$ => $y = 1$
Sul raggio, la mia proposta era di eguagliare $sqrt(a^2/4 + b^2/4 - c)$ con la formula della distanza, in modo tale da eliminare $r$ come parametro.
Sei daccordo ?
$3x-4y-7=0$
Prova a sostituire (1,1)
Ti viene 3-4-7, che è diverso da 0.
Il fatto è che la distanza noi non la abbiamo... se poi intendi la distanza di 8 non credo vada bene, quella è una corda della circonferenza, non un arco.
Prova a sostituire (1,1)
Ti viene 3-4-7, che è diverso da 0.
Il fatto è che la distanza noi non la abbiamo... se poi intendi la distanza di 8 non credo vada bene, quella è una corda della circonferenza, non un arco.
"+Steven+":
$3x-4y-7=0$
Prova a sostituire (1,1)
Ti viene 3-4-7, che è diverso da 0.
E' vero, scusami, sara' stato il sonno di ieri sera......
"+Steven+":
Il fatto è che la distanza noi non la abbiamo... se poi intendi la distanza di 8 non credo vada bene, quella è una corda della circonferenza, non un arco.
Infatti, ho considerato una corda,
ho considerato l'intersezione dell'equazione della circonferenza con l'asse x.
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$
e
$y = 0$
rimane
$x^2 + ax + c = 0$
i valori di $x$
li ricavo con l'equazione di 2° grado
e la loro differenza deve essere $8$
Sei daccordo ?
Ciao eugenio, si sono daccordo, comunque io non capisco molto bene questa parte di ragionamento:
Buona serata, ciao.
3)
il punto P(1,1) dista r dal centro
applichi la formula della distanza sapendo che il centro C ha cordinate -a2 e -b2 mentre il raggio è r=a24+b24-c
Buona serata, ciao.
In pratica la formula della distanza tra il centro e p è $sqrt((1+a/2)^2 - (1+b/2)^2)$ giusto ?
quindi io eguaglio questa formula con il calcolo del raggio:
$sqrt((1+a/2)^2 - (1+b/2)^2) = sqrt(a^2/4 + b^2/4-c)$ ed ho ottenuto la terza equazione da mettere a sistema.
Ho cercato proprio una bella condizione strana...
quindi io eguaglio questa formula con il calcolo del raggio:
$sqrt((1+a/2)^2 - (1+b/2)^2) = sqrt(a^2/4 + b^2/4-c)$ ed ho ottenuto la terza equazione da mettere a sistema.
Ho cercato proprio una bella condizione strana...
Ah ora ho capito... potrebbe andare.
Comunque la distanza del centro da P(1,-1) mi viene
$(-a/2-1)^2+(-b/2+1)^2=r^2
Comunque la distanza del centro da P(1,-1) mi viene
$(-a/2-1)^2+(-b/2+1)^2=r^2
giusto!
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